Trojuholník 6 7 9

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 6 b = 7 c = 9

Obsah trojuholníka: S = 20,97661769634
Obvod trojuholníka: o = 22
Semiperimeter (poloobvod): s = 11

Uhol ∠ A = α = 41,7522205202° = 41°45'8″ = 0,72987134507 rad
Uhol ∠ B = β = 50,97771974348° = 50°58'38″ = 0,89897199387 rad
Uhol ∠ C = γ = 87,27105973632° = 87°16'14″ = 1,52331592642 rad

Výška trojuholníka: v_a = 6,99220589878
Výška trojuholníka: v_b = 5,99331934181
Výška trojuholníka: v_c = 4,66113726585

Ťažnica: t_a = 7,48333147735
Ťažnica: t_b = 6,80107352544
Ťažnica: t_c = 4,7176990566

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,90769251785
Polomer opísanej kružnice: R = 4,50551107342

Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[3,77877777778; 4,66113726585]
Ťažisko: T[4,25992592593; 1,55437908862]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; 0,21545290826]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 1,90769251785]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 138,2487794798° = 138°14'52″ = 0,72987134507 rad
∠ B' = β' = 129,02328025652° = 129°1'22″ = 0,89897199387 rad
∠ C' = γ' = 92,72994026368° = 92°43'46″ = 1,52331592642 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6 b = 7 c = 9

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 6 + 7 + 9 = 22

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 2}{2} = 11

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 11 (11 - 6) (11 - 7) (11 - 9) S = 440 = 20, 98

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 , 9 8}{6} = 6, 99 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 , 9 8}{7} = 5, 99 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 , 9 8}{9} = 4, 66

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 9 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 9}) = 41 ° 4 5^{'} 8 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 9}) = 50 ° 5 8^{'} 38 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 41 ° 4 5^{'} 8 " - 50 ° 5 8^{'} 38 " = 87 ° 1 6^{'} 14 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 , 9 8}{1 1} = 1, 91

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 9}{4 \cdot 1 , 9 0 7 \cdot 1 1} = 4, 51

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 7, 483 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 6, 801 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 4, 717

Vypočítať ďaľší trojuholník