Trojuholník 6 8 11
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 6 b = 8 c = 11Obsah trojuholníka: S = 23,4198742494
Obvod trojuholníka: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5
Uhol ∠ A = α = 32,15772086093° = 32°9'26″ = 0,56112491685 rad
Uhol ∠ B = β = 45,20771662976° = 45°12'26″ = 0,78990138974 rad
Uhol ∠ C = γ = 102,6365625093° = 102°38'8″ = 1,79113295877 rad
Výška trojuholníka: va = 7,8066247498
Výška trojuholníka: vb = 5,85546856235
Výška trojuholníka: vc = 4,25879531807
Ťažnica: ta = 9,13878334412
Ťažnica: tb = 7,90656941504
Ťažnica: tc = 4,44440972087
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,87334993995
Polomer opísanej kružnice: R = 5,63765110139
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[4,22772727273; 4,25879531807]
Ťažisko: T[5,07657575758; 1,41993177269]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; -1,23329867843]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 1,87334993995]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 147,84327913907° = 147°50'34″ = 0,56112491685 rad
∠ B' = β' = 134,79328337024° = 134°47'34″ = 0,78990138974 rad
∠ C' = γ' = 77,3644374907° = 77°21'52″ = 1,79113295877 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=8 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+8+11=25
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=225=12,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−6)(12,5−8)(12,5−11) S=548,44=23,42
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 23,42=7,81 vb=b2 S=82⋅ 23,42=5,85 vc=c2 S=112⋅ 23,42=4,26
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1182+112−62)=32°9′26" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1162+112−82)=45°12′26" γ=180°−α−β=180°−32°9′26"−45°12′26"=102°38′8"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=12,523,42=1,87
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,873⋅ 12,56⋅ 8⋅ 11=5,64
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 112−62=9,138 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 62−82=7,906 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 82−112=4,444
Vypočítať ďaľší trojuholník