Trojuholník 6 8 9

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 6 b = 8 c = 9

Obsah trojuholníka: S = 23,52552523897
Obvod trojuholníka: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5

Uhol ∠ A = α = 40,80444376906° = 40°48'16″ = 0,71221717871 rad
Uhol ∠ B = β = 60,61107200521° = 60°36'39″ = 1,05878566269 rad
Uhol ∠ C = γ = 78,58548422573° = 78°35'5″ = 1,37215642395 rad

Výška trojuholníka: v_a = 7,84217507966
Výška trojuholníka: v_b = 5,88113130974
Výška trojuholníka: v_c = 5,22878338644

Ťažnica: t_a = 7,96986887253
Ťažnica: t_b = 6,51992024052
Ťažnica: t_c = 5,45443560573

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,04656741208
Polomer opísanej kružnice: R = 4,59108115335

Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[2,94444444444; 5,22878338644]
Ťažisko: T[3,98114814815; 1,74326112881]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; 0,9098598116]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 2,04656741208]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 139,19655623094° = 139°11'44″ = 0,71221717871 rad
∠ B' = β' = 119,38992799479° = 119°23'21″ = 1,05878566269 rad
∠ C' = γ' = 101,41551577427° = 101°24'55″ = 1,37215642395 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6 b = 8 c = 9

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 6 + 8 + 9 = 23

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 3}{2} = 11, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 11, 5 (11, 5 - 6) (11, 5 - 8) (11, 5 - 9) S = 553, 44 = 23, 53

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 3 , 5 3}{6} = 7, 84 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 3 , 5 3}{8} = 5, 88 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 3 , 5 3}{9} = 5, 23

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 9 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 9}) = 40 ° 4 8^{'} 16 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 9 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 9}) = 60 ° 3 6^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 40 ° 4 8^{'} 16 " - 60 ° 3 6^{'} 39 " = 78 ° 3 5^{'} 5 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 3 , 5 3}{1 1 , 5} = 2, 05

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 8 \cdot 9}{4 \cdot 2 , 0 4 6 \cdot 1 1 , 5} = 4, 59

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 7, 969 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 6, 519 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 5, 454

Vypočítať ďaľší trojuholník