Trojuholník 6 9 13
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 6
b = 9
c = 13
Obsah trojuholníka: S = 23,66443191324
Obvod trojuholníka: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14
Uhol ∠ A = α = 23,86109433465° = 23°51'39″ = 0,4166452024 rad
Uhol ∠ B = β = 37,35768519729° = 37°21'25″ = 0,65220000651 rad
Uhol ∠ C = γ = 118,78222046806° = 118°46'56″ = 2,07331405645 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 7,88881063775
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 5,2598737585
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 3,64106644819
Ťažnica: ta = 10,77703296143
Ťažnica: tb = 9,06991785736
Ťažnica: tc = 4,03111288741
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,69903085095
Polomer opísanej kružnice: R = 7,41662285852
Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[4,76992307692; 3,64106644819]
Ťažisko: T[5,92330769231; 1,21435548273]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; -3,57107767262]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 1,69903085095]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 156,13990566535° = 156°8'21″ = 0,4166452024 rad
∠ B' = β' = 142,64331480271° = 142°38'35″ = 0,65220000651 rad
∠ C' = γ' = 61,21877953194° = 61°13'4″ = 2,07331405645 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=9 c=13
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+9+13=28
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=228=14
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14(14−6)(14−9)(14−13) S=560=23,66
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 23,66=7,89 vb=b2 S=92⋅ 23,66=5,26 vc=c2 S=132⋅ 23,66=3,64
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1392+132−62)=23°51′39" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1362+132−92)=37°21′25" γ=180°−α−β=180°−23°51′39"−37°21′25"=118°46′56"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1423,66=1,69
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,69⋅ 146⋅ 9⋅ 13=7,42
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 132−62=10,77 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 62−92=9,069 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 92−132=4,031
Vypočítať ďaľší trojuholník