Trojuholník 7 10 11

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7 b = 10 c = 11

Obsah trojuholníka: S = 34,2932856399
Obvod trojuholníka: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14

Uhol ∠ A = α = 38,57326508222° = 38°34'22″ = 0,67332197581 rad
Uhol ∠ B = β = 62,96443082106° = 62°57'52″ = 1,09989344895 rad
Uhol ∠ C = γ = 78,46330409672° = 78°27'47″ = 1,3699438406 rad

Výška trojuholníka: v_a = 9,79879589711
Výška trojuholníka: v_b = 6,85985712798
Výška trojuholníka: v_c = 6,23550647998

Ťažnica: t_a = 9,91221138008
Ťažnica: t_b = 7,74659666924
Ťažnica: t_c = 6,65220673478

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,44994897428
Polomer opísanej kružnice: R = 5,61334139939

Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[3,18218181818; 6,23550647998]
Ťažisko: T[4,72772727273; 2,07883549333]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 1,12326827988]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,44994897428]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141,42773491778° = 141°25'38″ = 0,67332197581 rad
∠ B' = β' = 117,03656917894° = 117°2'8″ = 1,09989344895 rad
∠ C' = γ' = 101,53769590328° = 101°32'13″ = 1,3699438406 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 10 c = 11

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 10 + 11 = 28

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 8}{2} = 14

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14 (14 - 7) (14 - 10) (14 - 11) S = 1176 = 34, 29

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 4 , 2 9}{7} = 9, 8 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 4 , 2 9}{1 0} = 6, 86 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 4 , 2 9}{1 1} = 6, 24

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 1 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 1}) = 38 ° 3 4^{'} 22 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 1}) = 62 ° 5 7^{'} 52 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 38 ° 3 4^{'} 22 " - 62 ° 5 7^{'} 52 " = 78 ° 2 7^{'} 47 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 4 , 2 9}{1 4} = 2, 45

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 1 0 \cdot 1 1}{4 \cdot 2 , 4 4 9 \cdot 1 4} = 5, 61

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 9, 912 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 7, 746 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 6, 652

Vypočítať ďaľší trojuholník