Trojuholník 7 11 11
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 11 c = 11Obsah trojuholníka: S = 36,49991438256
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5
Uhol ∠ A = α = 37,106600907° = 37°6'22″ = 0,64876220305 rad
Uhol ∠ B = β = 71,4476995465° = 71°26'49″ = 1,24769853115 rad
Uhol ∠ C = γ = 71,4476995465° = 71°26'49″ = 1,24769853115 rad
Výška trojuholníka: va = 10,42883268073
Výška trojuholníka: vb = 6,63662079683
Výška trojuholníka: vc = 6,63662079683
Ťažnica: ta = 10,42883268073
Ťažnica: tb = 7,39993242935
Ťažnica: tc = 7,39993242935
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,51771823328
Polomer opísanej kružnice: R = 5,8021505948
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[2,22772727273; 6,63662079683]
Ťažisko: T[4,40990909091; 2,21220693228]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 1,84659337107]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 2,51771823328]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 142,894399093° = 142°53'38″ = 0,64876220305 rad
∠ B' = β' = 108,5533004535° = 108°33'11″ = 1,24769853115 rad
∠ C' = γ' = 108,5533004535° = 108°33'11″ = 1,24769853115 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=11 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+11+11=29
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=229=14,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14,5(14,5−7)(14,5−11)(14,5−11) S=1332,19=36,5
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 36,5=10,43 vb=b2 S=112⋅ 36,5=6,64 vc=c2 S=112⋅ 36,5=6,64
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 11112+112−72)=37°6′22" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1172+112−112)=71°26′49" γ=180°−α−β=180°−37°6′22"−71°26′49"=71°26′49"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=14,536,5=2,52
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,517⋅ 14,57⋅ 11⋅ 11=5,8
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 112−72=10,428 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 72−112=7,399 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 112−112=7,399
Vypočítať ďaľší trojuholník