Trojuholník 7 8 11
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 8 c = 11Obsah trojuholníka: S = 27,92884800875
Obvod trojuholníka: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13
Uhol ∠ A = α = 39,40105687537° = 39°24'2″ = 0,68876696519 rad
Uhol ∠ B = β = 46,50333874881° = 46°30'12″ = 0,8121637225 rad
Uhol ∠ C = γ = 94,09660437582° = 94°5'46″ = 1,64222857767 rad
Výška trojuholníka: va = 7,98795657393
Výška trojuholníka: vb = 6,98221200219
Výška trojuholníka: vc = 5,07879054705
Ťažnica: ta = 8,95882364336
Ťažnica: tb = 8,30766238629
Ťažnica: tc = 5,1233475383
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,14883446221
Polomer opísanej kružnice: R = 5,51440845301
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[4,81881818182; 5,07879054705]
Ťažisko: T[5,27327272727; 1,69326351568]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; -0,39438631807]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 2,14883446221]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 140,59994312463° = 140°35'58″ = 0,68876696519 rad
∠ B' = β' = 133,49766125119° = 133°29'48″ = 0,8121637225 rad
∠ C' = γ' = 85,90439562418° = 85°54'14″ = 1,64222857767 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=8 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+8+11=26
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=226=13
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13(13−7)(13−8)(13−11) S=780=27,93
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 27,93=7,98 vb=b2 S=82⋅ 27,93=6,98 vc=c2 S=112⋅ 27,93=5,08
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1182+112−72)=39°24′2" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1172+112−82)=46°30′12" γ=180°−α−β=180°−39°24′2"−46°30′12"=94°5′46"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1327,93=2,15
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,148⋅ 137⋅ 8⋅ 11=5,51
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 112−72=8,958 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 72−82=8,307 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 82−112=5,123
Vypočítať ďaľší trojuholník