Trojuholník 7 8 14

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 7
b = 8
c = 14

Obsah trojuholníka: S = 18.87999335105
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Uhol ∠ A = α = 19,61659069161° = 19°36'57″ = 0,34223621615 rad
Uhol ∠ B = β = 22,56113280909° = 22°33'41″ = 0,39437694588 rad
Uhol ∠ C = γ = 137,82327649929° = 137°49'22″ = 2,40554610333 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 5,37114095744
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 4.76999833776
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2,68657047872

Ťažnica: t_a = 10,85112672071
Ťažnica: t_b = 10,32198837203
Ťažnica: t_c = 2,73986127875

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,29765471387
Polomer opísanej kružnice: R = 10,42655687867

Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[6,46442857143; 2,68657047872]
Ťažisko: T[6,82114285714; 0,89552349291]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; -7,72660911545]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 1,29765471387]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 160,38440930839° = 160°23'3″ = 0,34223621615 rad
∠ B' = β' = 157,43986719091° = 157°26'19″ = 0,39437694588 rad
∠ C' = γ' = 42,17772350071° = 42°10'38″ = 2,40554610333 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 8 c = 14

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 8 + 14 = 29

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9}{2} = 14, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14, 5 (14, 5 - 7) (14, 5 - 8) (14, 5 - 14) S = 353, 44 = 18, 8

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 8 , 8}{7} = 5, 37 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 8 , 8}{8} = 4, 7 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 8 , 8}{1 4} = 2, 69

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 4 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 4}) = 19 ° 3 6^{'} 57 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 4 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 4}) = 22 ° 3 3^{'} 41 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 3 6^{'} 57 " - 22 ° 3 3^{'} 41 " = 137 ° 4 9^{'} 22 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 8 , 8}{1 4 , 5} = 1, 3

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 1 4}{4 \cdot 1 , 2 9 7 \cdot 1 4 , 5} = 10, 43

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 4 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 10, 851 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 4 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 10, 32 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2} = 2, 739

Vypočítať ďaľší trojuholník