Trojuholník 7 9 11
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 9 c = 11Obsah trojuholníka: S = 31,42195400985
Obvod trojuholníka: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Uhol ∠ A = α = 39,40105687537° = 39°24'2″ = 0,68876696519 rad
Uhol ∠ B = β = 54,69554750044° = 54°41'44″ = 0,95546161248 rad
Uhol ∠ C = γ = 85,90439562418° = 85°54'14″ = 1,49993068769 rad
Výška trojuholníka: va = 8,97770114567
Výška trojuholníka: vb = 6,98221200219
Výška trojuholníka: vc = 5,71326436543
Ťažnica: ta = 9,42107218407
Ťažnica: tb = 8,04767384697
Ťažnica: tc = 5,89549130613
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,32773733406
Polomer opísanej kružnice: R = 5,51440845301
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[4,04554545455; 5,71326436543]
Ťažisko: T[5,01551515152; 1,90442145514]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 0,39438631807]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 2,32773733406]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 140,59994312463° = 140°35'58″ = 0,68876696519 rad
∠ B' = β' = 125,30545249956° = 125°18'16″ = 0,95546161248 rad
∠ C' = γ' = 94,09660437582° = 94°5'46″ = 1,49993068769 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=9 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+9+11=27
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−7)(13,5−9)(13,5−11) S=987,19=31,42
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 31,42=8,98 vb=b2 S=92⋅ 31,42=6,98 vc=c2 S=112⋅ 31,42=5,71
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1192+112−72)=39°24′2" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1172+112−92)=54°41′44" γ=180°−α−β=180°−39°24′2"−54°41′44"=85°54′14"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=13,531,42=2,33
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,327⋅ 13,57⋅ 9⋅ 11=5,51
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 112−72=9,421 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 72−92=8,047 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 92−112=5,895
Vypočítať ďaľší trojuholník