Trojuholník 7 9 11

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7 b = 9 c = 11

Obsah trojuholníka: S = 31,42195400985
Obvod trojuholníka: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5

Uhol ∠ A = α = 39,40105687537° = 39°24'2″ = 0,68876696519 rad
Uhol ∠ B = β = 54,69554750044° = 54°41'44″ = 0,95546161248 rad
Uhol ∠ C = γ = 85,90439562418° = 85°54'14″ = 1,49993068769 rad

Výška trojuholníka: v_a = 8,97770114567
Výška trojuholníka: v_b = 6,98221200219
Výška trojuholníka: v_c = 5,71326436543

Ťažnica: t_a = 9,42107218407
Ťažnica: t_b = 8,04767384697
Ťažnica: t_c = 5,89549130613

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,32773733406
Polomer opísanej kružnice: R = 5,51440845301

Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[4,04554545455; 5,71326436543]
Ťažisko: T[5,01551515152; 1,90442145514]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 0,39438631807]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 2,32773733406]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 140,59994312463° = 140°35'58″ = 0,68876696519 rad
∠ B' = β' = 125,30545249956° = 125°18'16″ = 0,95546161248 rad
∠ C' = γ' = 94,09660437582° = 94°5'46″ = 1,49993068769 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 9 c = 11

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 9 + 11 = 27

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 7}{2} = 13, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13, 5 (13, 5 - 7) (13, 5 - 9) (13, 5 - 11) S = 987, 19 = 31, 42

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 1 , 4 2}{7} = 8, 98 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 1 , 4 2}{9} = 6, 98 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 1 , 4 2}{1 1} = 5, 71

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 1 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 1}) = 39 ° 2 4^{'} 2 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 1 1 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 1 1}) = 54 ° 4 1^{'} 44 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 39 ° 2 4^{'} 2 " - 54 ° 4 1^{'} 44 " = 85 ° 5 4^{'} 14 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 1 , 4 2}{1 3 , 5} = 2, 33

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 9 \cdot 1 1}{4 \cdot 2 , 3 2 7 \cdot 1 3 , 5} = 5, 51

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 9, 421 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 8, 047 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 5, 895

Vypočítať ďaľší trojuholník