Trojuholník 8 10 11

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 8 b = 10 c = 11

Obsah trojuholníka: S = 38,52883986171
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5

Uhol ∠ A = α = 44,46884446032° = 44°28'6″ = 0,77661207716 rad
Uhol ∠ B = β = 61,12114535039° = 61°7'17″ = 1,06767706072 rad
Uhol ∠ C = γ = 74,41101018929° = 74°24'36″ = 1,29987012748 rad

Výška trojuholníka: v_a = 9,63220996543
Výška trojuholníka: v_b = 7,70656797234
Výška trojuholníka: v_c = 7,00551633849

Ťažnica: t_a = 9,72111110476
Ťažnica: t_b = 8,21658383626
Ťažnica: t_c = 7,1943747285

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,65771309391
Polomer opísanej kružnice: R = 5,7110073813

Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[3,86436363636; 7,00551633849]
Ťažisko: T[4,95545454545; 2,33550544616]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 1,53545823372]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 2,65771309391]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,53215553969° = 135°31'54″ = 0,77661207716 rad
∠ B' = β' = 118,87985464961° = 118°52'43″ = 1,06767706072 rad
∠ C' = γ' = 105,59898981071° = 105°35'24″ = 1,29987012748 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 10 c = 11

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 10 + 11 = 29

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 9}{2} = 14, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 14, 5 (14, 5 - 8) (14, 5 - 10) (14, 5 - 11) S = 1484, 44 = 38, 53

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 8 , 5 3}{8} = 9, 63 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 8 , 5 3}{1 0} = 7, 71 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 8 , 5 3}{1 1} = 7, 01

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 1 1 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 1 1}) = 44 ° 2 8^{'} 6 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 1 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 1}) = 61 ° 7^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 44 ° 2 8^{'} 6 " - 61 ° 7^{'} 17 " = 74 ° 2 4^{'} 36 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 8 , 5 3}{1 4 , 5} = 2, 66

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 1 0 \cdot 1 1}{4 \cdot 2 , 6 5 7 \cdot 1 4 , 5} = 5, 71

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 9, 721 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 8, 216 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 7, 194

Vypočítať ďaľší trojuholník