Trojuholník 8 8 11
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 8 b = 8 c = 11Obsah trojuholníka: S = 31,95221126062
Obvod trojuholníka: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Uhol ∠ A = α = 46,56774634422° = 46°34'3″ = 0,81327555614 rad
Uhol ∠ B = β = 46,56774634422° = 46°34'3″ = 0,81327555614 rad
Uhol ∠ C = γ = 86,86550731156° = 86°51'54″ = 1,51660815309 rad
Výška trojuholníka: va = 7,98880281516
Výška trojuholníka: vb = 7,98880281516
Výška trojuholníka: vc = 5,80994750193
Ťažnica: ta = 8,74664278423
Ťažnica: tb = 8,74664278423
Ťažnica: tc = 5,80994750193
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,3676823156
Polomer opísanej kružnice: R = 5,50882429813
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[5,5; 5,80994750193]
Ťažisko: T[5,5; 1,93664916731]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; 0,3011232038]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 2,3676823156]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 133,43325365578° = 133°25'57″ = 0,81327555614 rad
∠ B' = β' = 133,43325365578° = 133°25'57″ = 0,81327555614 rad
∠ C' = γ' = 93,13549268844° = 93°8'6″ = 1,51660815309 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=8 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+8+11=27
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−8)(13,5−8)(13,5−11) S=1020,94=31,95
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 31,95=7,99 vb=b2 S=82⋅ 31,95=7,99 vc=c2 S=112⋅ 31,95=5,81
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1182+112−82)=46°34′3" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1182+112−82)=46°34′3" γ=180°−α−β=180°−46°34′3"−46°34′3"=86°51′54"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=13,531,95=2,37
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,367⋅ 13,58⋅ 8⋅ 11=5,51
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 112−82=8,746 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 82−82=8,746 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 82−112=5,809
Vypočítať ďaľší trojuholník