Trojuholník 8 8 9
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 8 b = 8 c = 9Obsah trojuholníka: S = 29,76547022495
Obvod trojuholníka: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5
Uhol ∠ A = α = 55,77111336722° = 55°46'16″ = 0,97333899101 rad
Uhol ∠ B = β = 55,77111336722° = 55°46'16″ = 0,97333899101 rad
Uhol ∠ C = γ = 68,45877326556° = 68°27'28″ = 1,19548128333 rad
Výška trojuholníka: va = 7,44111755624
Výška trojuholníka: vb = 7,44111755624
Výška trojuholníka: vc = 6,61443782777
Ťažnica: ta = 7,51766481892
Ťažnica: tb = 7,51766481892
Ťažnica: tc = 6,61443782777
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,381117618
Polomer opísanej kružnice: R = 4,83879452545
Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[4,5; 6,61443782777]
Ťažisko: T[4,5; 2,20547927592]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; 1,77664330231]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 2,381117618]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 124,22988663278° = 124°13'44″ = 0,97333899101 rad
∠ B' = β' = 124,22988663278° = 124°13'44″ = 0,97333899101 rad
∠ C' = γ' = 111,54222673444° = 111°32'32″ = 1,19548128333 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=8 c=9
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+8+9=25
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=225=12,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−8)(12,5−8)(12,5−9) S=885,94=29,76
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 29,76=7,44 vb=b2 S=82⋅ 29,76=7,44 vc=c2 S=92⋅ 29,76=6,61
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 982+92−82)=55°46′16" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 982+92−82)=55°46′16" γ=180°−α−β=180°−55°46′16"−55°46′16"=68°27′28"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=12,529,76=2,38
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,381⋅ 12,58⋅ 8⋅ 9=4,84
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 92−82=7,517 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 82−82=7,517 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 82−92=6,614
Vypočítať ďaľší trojuholník