Trojuholník 8 9 10

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 8
b = 9
c = 10

Obsah trojuholníka: S = 34,19770393455
Obvod trojuholníka: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5

Uhol ∠ A = α = 49,45883981265° = 49°27'30″ = 0,86332118901 rad
Uhol ∠ B = β = 58,75215587378° = 58°45'6″ = 1,02554081407 rad
Uhol ∠ C = γ = 71,79900431357° = 71°47'24″ = 1,25329726229 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 8,54992598364
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 7,59993420768
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 6,83994078691

Ťažnica: t_a = 8,63113382508
Ťažnica: t_b = 7,85881168228
Ťažnica: t_c = 6,8922024376

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,53331140256
Polomer opísanej kružnice: R = 5,26436135597

Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[4,15; 6,83994078691]
Ťažisko: T[4,71766666667; 2,2879802623]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; 1,64548792374]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 2,53331140256]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 130,54216018735° = 130°32'30″ = 0,86332118901 rad
∠ B' = β' = 121,24884412622° = 121°14'54″ = 1,02554081407 rad
∠ C' = γ' = 108,21099568643° = 108°12'36″ = 1,25329726229 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 8 b = 9 c = 10

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 8 + 9 + 10 = 27

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 7}{2} = 13, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13, 5 (13, 5 - 8) (13, 5 - 9) (13, 5 - 10) S = 1169, 44 = 34, 2

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 4 , 2}{8} = 8, 55 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 4 , 2}{9} = 7, 6 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 4 , 2}{1 0} = 6, 84

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 0 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 0}) = 49 ° 2 7^{'} 30 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 0}) = 58 ° 4 5^{'} 6 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 49 ° 2 7^{'} 30 " - 58 ° 4 5^{'} 6 " = 71 ° 4 7^{'} 24 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 4 , 2}{1 3 , 5} = 2, 53

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 1 0}{4 \cdot 2 , 5 3 3 \cdot 1 3 , 5} = 5, 26

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 8, 631 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 7, 858 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 6, 892

Vypočítať ďaľší trojuholník