Trojuholník 8 9 9




Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 8   b = 9   c = 9

Obsah trojuholníka: S = 32,24990309932
Obvod trojuholníka: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13

Uhol ∠ A = α = 52,77655999225° = 52°46'32″ = 0,92111079834 rad
Uhol ∠ B = β = 63,61222000388° = 63°36'44″ = 1,11102423351 rad
Uhol ∠ C = γ = 63,61222000388° = 63°36'44″ = 1,11102423351 rad

Výška trojuholníka: va = 8,06222577483
Výška trojuholníka: vb = 7,16664513318
Výška trojuholníka: vc = 7,16664513318

Ťažnica: ta = 8,06222577483
Ťažnica: tb = 7,22884161474
Ťažnica: tc = 7,22884161474

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,48106946918
Polomer opísanej kružnice: R = 5,02334067509

Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[3,55655555556; 7,16664513318]
Ťažisko: T[4,18551851852; 2,38988171106]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; 2,23326252226]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,48106946918]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 127,22444000775° = 127°13'28″ = 0,92111079834 rad
∠ B' = β' = 116,38877999612° = 116°23'16″ = 1,11102423351 rad
∠ C' = γ' = 116,38877999612° = 116°23'16″ = 1,11102423351 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=9 c=9

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=8+9+9=26

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=226=13

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=13(138)(139)(139) S=1040=32,25

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=82 32,25=8,06 vb=b2 S=92 32,25=7,17 vc=c2 S=92 32,25=7,17

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 9 992+9282)=52°4632"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 8 982+9292)=63°3644" γ=180°αβ=180°52°4632"63°3644"=63°3644"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=1332,25=2,48

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 2,481 138 9 9=5,02

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 92+2 9282=8,062 tb=22c2+2a2b2=22 92+2 8292=7,228 tc=22a2+2b2c2=22 82+2 9292=7,228

Vypočítať ďaľší trojuholník