Trojuholník 8 9 9
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 8 b = 9 c = 9Obsah trojuholníka: S = 32,24990309932
Obvod trojuholníka: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13
Uhol ∠ A = α = 52,77655999225° = 52°46'32″ = 0,92111079834 rad
Uhol ∠ B = β = 63,61222000388° = 63°36'44″ = 1,11102423351 rad
Uhol ∠ C = γ = 63,61222000388° = 63°36'44″ = 1,11102423351 rad
Výška trojuholníka: va = 8,06222577483
Výška trojuholníka: vb = 7,16664513318
Výška trojuholníka: vc = 7,16664513318
Ťažnica: ta = 8,06222577483
Ťažnica: tb = 7,22884161474
Ťažnica: tc = 7,22884161474
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,48106946918
Polomer opísanej kružnice: R = 5,02334067509
Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[3,55655555556; 7,16664513318]
Ťažisko: T[4,18551851852; 2,38988171106]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; 2,23326252226]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,48106946918]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 127,22444000775° = 127°13'28″ = 0,92111079834 rad
∠ B' = β' = 116,38877999612° = 116°23'16″ = 1,11102423351 rad
∠ C' = γ' = 116,38877999612° = 116°23'16″ = 1,11102423351 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=9 c=9
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+9+9=26
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=226=13
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13(13−8)(13−9)(13−9) S=1040=32,25
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 32,25=8,06 vb=b2 S=92⋅ 32,25=7,17 vc=c2 S=92⋅ 32,25=7,17
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 992+92−82)=52°46′32" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 982+92−92)=63°36′44" γ=180°−α−β=180°−52°46′32"−63°36′44"=63°36′44"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1332,25=2,48
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,481⋅ 138⋅ 9⋅ 9=5,02
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 92−82=8,062 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 82−92=7,228 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 92−92=7,228
Vypočítať ďaľší trojuholník