Trojuholník 9 10 10
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 9 b = 10 c = 10Obsah trojuholníka: S = 40,18662849739
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5
Uhol ∠ A = α = 53,48773679008° = 53°29'15″ = 0,93435306781 rad
Uhol ∠ B = β = 63,25663160496° = 63°15'23″ = 1,10440309877 rad
Uhol ∠ C = γ = 63,25663160496° = 63°15'23″ = 1,10440309877 rad
Výška trojuholníka: va = 8,93302855497
Výška trojuholníka: vb = 8,03772569948
Výška trojuholníka: vc = 8,03772569948
Ťažnica: ta = 8,93302855497
Ťažnica: tb = 8,09332070281
Ťažnica: tc = 8,09332070281
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,77114679292
Polomer opísanej kružnice: R = 5,59989251096
Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[4,05; 8,03772569948]
Ťažisko: T[4,68333333333; 2,67990856649]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; 2,52195162993]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 2,77114679292]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 126,51326320992° = 126°30'45″ = 0,93435306781 rad
∠ B' = β' = 116,74436839504° = 116°44'37″ = 1,10440309877 rad
∠ C' = γ' = 116,74436839504° = 116°44'37″ = 1,10440309877 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=10 c=10
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+10+10=29
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=229=14,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14,5(14,5−9)(14,5−10)(14,5−10) S=1614,94=40,19
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 40,19=8,93 vb=b2 S=102⋅ 40,19=8,04 vc=c2 S=102⋅ 40,19=8,04
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 10102+102−92)=53°29′15" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1092+102−102)=63°15′23" γ=180°−α−β=180°−53°29′15"−63°15′23"=63°15′23"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=14,540,19=2,77
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,771⋅ 14,59⋅ 10⋅ 10=5,6
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 102−92=8,93 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 92−102=8,093 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 102−102=8,093
Vypočítať ďaľší trojuholník