Trojuholník 9 17 20

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9 b = 17 c = 20

Obsah trojuholníka: S = 76,13114652427
Obvod trojuholníka: o = 46
Semiperimeter (poloobvod): s = 23

Uhol ∠ A = α = 26,60546816894° = 26°36'17″ = 0,46443392919 rad
Uhol ∠ B = β = 57,76990473645° = 57°46'9″ = 1,00882600823 rad
Uhol ∠ C = γ = 95,62662709461° = 95°37'35″ = 1,66989932794 rad

Výška trojuholníka: v_a = 16,91881033873
Výška trojuholníka: v_b = 8,95766429697
Výška trojuholníka: v_c = 7,61331465243

Ťažnica: t_a = 18,00769431054
Ťažnica: t_b = 12,97111217711
Ťažnica: t_c = 9,22195444573

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,31100637062
Polomer opísanej kružnice: R = 10,04884076795

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[4,8; 7,61331465243]
Ťažisko: T[8,26766666667; 2,53877155081]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -0,98551380078]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 3,31100637062]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 153,39553183106° = 153°23'43″ = 0,46443392919 rad
∠ B' = β' = 122,23109526355° = 122°13'51″ = 1,00882600823 rad
∠ C' = γ' = 84,37437290539° = 84°22'25″ = 1,66989932794 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 17 c = 20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 17 + 20 = 46

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 6}{2} = 23

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23 (23 - 9) (23 - 17) (23 - 20) S = 5796 = 76, 13

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 6 , 1 3}{9} = 16, 92 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 6 , 1 3}{1 7} = 8, 96 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 6 , 1 3}{2 0} = 7, 61

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 7 ^{2} + 2 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 7 \cdot 2 0}) = 26 ° 3 6^{'} 17 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 2 0}) = 57 ° 4 6^{'} 9 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 26 ° 3 6^{'} 17 " - 57 ° 4 6^{'} 9 " = 95 ° 3 7^{'} 35 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 6 , 1 3}{2 3} = 3, 31

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 7 \cdot 2 0}{4 \cdot 3 , 3 1 \cdot 2 3} = 10, 05

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 18, 007 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 7 ^{2}}{2} = 12, 971 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 7 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 9, 22

Vypočítať ďaľší trojuholník