Kombinace bez opakování n=11, k=3 výsledek
Kalkulačka vypočítá kolika různými způsoby se dá vybrat k prvků z množiny n prvků. S/bez uvažování poradí, s/bez opakování. Vypočítá počet variací, permutací, kombinací, variací s opakováním a kombinací s opakováním.Výpočet:
Ck(n)=(kn)=k!(n−k)!n! n=11 k=3 C3(11)=(311)=3!(11−3)!11!=3⋅2⋅111⋅10⋅9=165
Počet kombinací: 165
Trošku teorie - základy kombinatoriky
Variace
Variace k-té třídy z n prvků je uspořádána k-prvková skupina vytvořená z množiny n prvků. Prvky se neopakují a záleží na pořadí prvků ve skupině (proto uspořádána).Počet variací vypočítáme snadno použitím kombinatorického pravidla součinu. Pokud máme například množinu n = 5 čísel 1,2,3,4,5 a máme udělat variace třetí třídy, bude jejich V3 (5) = 5 * 4 * 3 = 60.
Vk(n)=n(n−1)(n−2)...(n−k+1)=(n−k)!n!
n! voláme faktoriál čísla n a je to součin prvních n přirozených čísel. Zápis s faktoriálu je jen přehlednější, ekvivalentní, pro výpočty je plně dostačující používat postup vyplývající z kombinatorického pravidla součinu.
Permutace
Permutace je synonymický název pro variaci n-té třídy z n-prvků. Je to tedy každá n-prvková uspořádána skupina vytvořená z n-prvků. Prvky se neopakují a záleží na pořadí prvků ve skupině.P(n)=n(n−1)(n−2)...1=n!
Typický příklad je: Máme 4 knihy a kolika způsoby jejich můžeme uspořádat vedle sebe v poličce?
Variace s opakováním
Variace k-té třídy z n prvků je uspořádána k-prvková skupina vytvořených z množiny n prvků, přičemž prvky se mohou opakovat a záleží na jejich pořadí. Typickým příkladem je tvoření čísel z číslic 2,3,4,5 a zjištění jejich počtu. Jejich počet podle kombinatorického pravidla součinu vypočítáme:Vk′(n)=n⋅n⋅n⋅n...n=nk
Permutace s opakováním
Permutace s opakováním je uspořádána k-prvková skupina z n-prvků, přičemž některé prvky se opakují ve skupině. Opakování některých (nebo všech ve skupině) snižuje počet takových permutací s opakováním.Pk1k2k3...km′(n)=k1!k2!k3!...km!n!
Typický příklad je zjistit kolik je sedmimístných čísel vytvořených z číslic 2,2,2, 6,6,6,6.
Kombinace
Kombinace k-té třídy z n prvků je neuspořádaná k-prvková skupina vytvořená z množiny n prvků. Prvky se neopakují a nezáleží na pořadí prvků ve skupině. Neuspořádané skupiny se v matematice volají množiny resp. podmnožiny. Jejich počet je kombinační číslo a vypočte se takto:Ck(n)=(kn)=k!(n−k)!n!
Typický příklad na kombinace je že máme 15 žáků a máme vybrat trojice. Kolik jich bude?
Kombinace s opakováním
Zde vybíráme k prvkové skupiny z n prvků, přičemž nezáleží na pořadí a prvky se mohou opakovat. k je logicky větší než n (jinak bychom dostali kombinace obyčejné). Jejich počet je:Ck′(n)=(kn+k−1)=k!(n−1)!(n+k−1)!
Vysvětlení vzorce - počet kombinaci s opakováním se rovná počtu umístění n-1 oddělovačů na n-1 + k míst. Typický příklad je: jdeme si do obchodu koupit 6 čokolád. V nabídce mají jen 3 druhy. Kolik máme možností? k = 6, n = 3 ..
Základy kombinatoriky v slovních úlohách
- Olympiáda
Kolika způsoby se mohou umístit šest závodníků na medailových pozicích na olympiádě? Na barvě kovu záleží. - Chlapci
Ve třídě je 18 dívek a 13 chlapců. Pro dozor o přestávkách se losem určí 4 žáci. Jaká je pravděpodobnost, že to budou sami chlapci? - Ze zkušeností
Ze zkušeností zaměstnance pojišťovny vyplynulo, že pojistné plnění v rámci pojištění domácnosti je více než 25 000 Kč s pravděpodobností 0,3. Jaká je pravděpodobnost, že mezi příštími deseti pojistnými plněními bude: a) alespoň 5 vyšších než 25 000 Kč? b) - Pravděpodobností 8445
Hráč fotbalového týmu vstřelí branku z pokutového kopu s pravděpodobností 0,8. Brankář má úspěšnost chycených pokutových kopů 0,4 Jaká je pravděpodobnost že: a) - padne gól při realizaci jednoho kopu b) - že gól nepadne při realizaci jednoho kopu - Pravděpodobnost 4665
Máme tři série výrobků. Vybereme ke kontrole kvality jeden výrobek. Určete pravděpodobnost, že se zjistí nekvalitní výroba, pokud v první sérii je 2/3, ve druhé 7/9 a ve třetí 3/4 kvalitních výrobků. - Prostoru 3570
V prostoru je 12 bodů, přičemž žádné 3 neleží na přímce. Kolik různých rovin je určeno těmito body? - Bezpečnostní 4470
Bezpečnostní kód trezoru se nastavuje třemi kotouči. Na prvním je pět různých písmen, na druhém jsou číslice 0 až 4, na třetím jsou číslice 5 až 9. Jeden kód lze nastavit přibližně za 1 sekundu. Jak je třeba načasovat spuštění alarmu, aby zazněl v pětině - Tři střelci
Tři střelci střílejí, každý jednou, na stejný terč. První zasáhne cíl s pravděpodobností 0,7; druhý s pravděpodobností 0,8 a třetí s pravděpodobností 0,9. Jaká je pravdepodobnsť, že terč zasáhnou: a) právě jednou b) alespoň jednou c) alespoň dvakrát - Hod kostkami
Když házíš deseti kostkami najednou, tak v průměru hodíš 35. Kolik průměrně hodíš, pokud vždy když padne šestka házíš tou kostkou znovu? - Pětimístné
Najdi všechna pětimístné čísla, které se dají vytvořit z čísel 12345 tak, aby se čísla neopakovaly a pak také, aby se cisla opakovaly. Uveď i výpočet. - Pravděpodobnost 80895
Spravedlivá kostka se hodí dvakrát. Jaká je pravděpodobnost, že součet skóre je téměř 8? - Vyhovujících 82410
Čtyři spolužáci (Ivan, Matej, Fero, Ľuboš), chodící do školy týmž tramvajovým spojem, se dohodli, že se utkají ráno na zastávce před školou. Jak si slíbili, tak se také stalo. První spolužák dorazil na zastávku před školu tramvají s příjezdem v 7:00 a pos - Pravděpodobnost 80865
Zahradnictví prodává sazenice ještě nevykvetlých rtěnek. Z dlouhodobých zkušeností je známo, že 91% těchto sazenic vykvete červeně, ale zbývající sazenice nevykvetou vůbec. Průměrná životnost sazenice je 36 hodin. Rtěnky jsou prodávány v krabicích po 6 ku - SPZ
Kolik různých SPZ může země mít, pokud se používá 2 písmen následované 3 číslicemi? - Trojicích 7860
Kolik různých trojic lze vytvořit ze 4 žáků, pokud nezáleží na pořadí žáků ve trojicích?
slovní úlohy - více »