Variace bez opakování n=11, k=3 výsledek

Kalkulačka vypočítá počet variací k-té střídy z n prvků. Variace k-té třídy z n prvkové množiny M, je každá uspořádaná k-prvková skupina sestavená pouze z těchto n prvků tak, že každý se v ní nachází nejvýše jednou.

Počet prvků:

(n)

Vybírám prvků

(k)

Je pořadí důležité:

AnoNe

Opakování prvků:

AnoNe

Vypočítej

Trošku teorie - základy kombinatoriky

Variace

Variace k-té třídy z n prvků je uspořádána k-prvková skupina vytvořená z množiny n prvků. Prvky se neopakují a záleží na pořadí prvků ve skupině (proto uspořádána).
Počet variací vypočítáme snadno použitím kombinatorického pravidla součinu. Pokud máme například množinu n = 5 čísel 1,2,3,4,5 a máme udělat variace třetí třídy, bude jejich V₃ (5) = 5 * 4 * 3 = 60.

Vk​(n)=n(n−1)(n−2)...(n−k+1)=(n−k)!n!​

n! voláme faktoriál čísla n a je to součin prvních n přirozených čísel. Zápis s faktoriálu je jen přehlednější, ekvivalentní, pro výpočty je plně dostačující používat postup vyplývající z kombinatorického pravidla součinu.

Permutace

Permutace je synonymický název pro variaci n-té třídy z n-prvků. Je to tedy každá n-prvková uspořádána skupina vytvořená z n-prvků. Prvky se neopakují a záleží na pořadí prvků ve skupině.

P(n)=n(n−1)(n−2)...1=n!

Typický příklad je: Máme 4 knihy a kolika způsoby jejich můžeme uspořádat vedle sebe v poličce?

Variace s opakováním

Variace k-té třídy z n prvků je uspořádána k-prvková skupina vytvořených z množiny n prvků, přičemž prvky se mohou opakovat a záleží na jejich pořadí. Typickým příkladem je tvoření čísel z číslic 2,3,4,5 a zjištění jejich počtu. Jejich počet podle kombinatorického pravidla součinu vypočítáme:

Vk′​(n)=n⋅n⋅n⋅n...n=nk

Permutace s opakováním

Permutace s opakováním je uspořádána k-prvková skupina z n-prvků, přičemž některé prvky se opakují ve skupině. Opakování některých (nebo všech ve skupině) snižuje počet takových permutací s opakováním.

Pk1​k2​k3​...km​′​(n)=k1​!k2​!k3​!...km​!n!​

Typický příklad je zjistit kolik je sedmimístných čísel vytvořených z číslic 2,2,2, 6,6,6,6.

Kombinace

Kombinace k-té třídy z n prvků je neuspořádaná k-prvková skupina vytvořená z množiny n prvků. Prvky se neopakují a nezáleží na pořadí prvků ve skupině. Neuspořádané skupiny se v matematice volají množiny resp. podmnožiny. Jejich počet je kombinační číslo a vypočte se takto:

$C_k(n)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Typický příklad na kombinace je že máme 15 žáků a máme vybrat trojice. Kolik jich bude?

Kombinace s opakováním

Zde vybíráme k prvkové skupiny z n prvků, přičemž nezáleží na pořadí a prvky se mohou opakovat. k je logicky větší než n (jinak bychom dostali kombinace obyčejné). Jejich počet je:

$C_k^{\prime }(n)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k}\right)=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

Vysvětlení vzorce - počet kombinaci s opakováním se rovná počtu umístění n-1 oddělovačů na n-1 + k míst. Typický příklad je: jdeme si do obchodu koupit 6 čokolád. V nabídce mají jen 3 druhy. Kolik máme možností? k = 6, n = 3 ..

Základy kombinatoriky v slovních úlohách

• Trojice
  Kolik různých trojic lze vybrat ze skupiny 35 studentů?
• Ve třídě 7
  Ve třídě je 20 žáků, z nich jsou čtyři zkoušení učitelem. Kolik je možností pro zvolení koho bude učitel zkoušet?
• Věneček
  Na věneček přišlo 12 chlapců a 15 dívek. Kolika způsoby můžeme vybrat 4 taneční páry?
• Zástupci
  Ve třídě je 18 chlapců a 14 dívek. Kolika způsoby mohou do školního parlamentu vybrat 3 zástupců, pokud to mají být: a) samí chlapci b) jeden chlapec a dvě dívky
• Vytvoření 81788
  Prsten je tvořen 4 korálky. V balení je 5 různých barev korálků. Kolik je možností vytvoření jednoho prstenu a barvy se mohou opakovat?
• Pravděpodobnosti 2645
  Pracovnice obsluhuje 600 vřeten, na které se navíjí příze. Pravděpodobnost roztržení příze na každém z vřeten za čas t je 0,005. a) Určete rozdělení pravděpodobnosti počtu roztržených vřeten za čas t a střední hodnotu a rozptyl. b) Jaká je pravděpodobnost
• Pravděpodobnost 63434
  V obálce jsou lístky s čísly 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Z obálky se vytahují vždy najednou dva lístky. Jaká je pravděpodobnost, že součet vytažených čísel bude 7? sledek zapište jako desetinné číslo zaokrouhlené na setiny. A) 0,21 B) 0,05 C) 0,22 D) 0,11
• Pravděpodobnost 6325
  Na polici je uloženo 27 atlasů, 29 slovníků, 8 učebnic a 16 encyklopedií. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná kniha z této police je encyklopedie? Výsledek uveďte v procentech.
• Sad
  V sadě roste 5 řad po 7 stromů. Kolik je v sadě stromů?
• Karty
  Kolika způsoby je možné rozdat 32 hracích karet 5 hráčům?
• Pravděpodobnost 17503
  Z čísel 1 – 20 náhodně vybereme 4 čísla. Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi budou čísla 6 nebo 10?
• Citrónových 4324
  Sáček bonbonů obsahuje 20 bonbonů pěti různých příchutí: višňová, citrónová, pomeranč, mango a kola. Víme, že v kapse je z každé příchutě alespoň jedna a že citrónových je 2krát více než višňových. Kolika způsoby mohou být různé příchutě v sáčku zastoupen
• Pohankovou 14743
  Anna si připravuje k snídani - pohankovou nebo jáhlovou kaši s jedním ze tří druhů ovoce ochucenou medem nebo kakaem. Kolik různých druhů snídaní si může připravit z uvedených surovin?
• Jejichž 72404
  Kolik je čísel menších než 200, jejichž ciferný součet je 6?
• Fourland 3542
  V zemi Fourland mají pouze čtyři písmena F, O, U, R a každé slovo má právě čtyři písmena. V žádném slově se nesmí opakovat ani jedno písmeno. Napiš všechna slova, která se dají u nich napsat.

slovní úlohy - více »