Eliminační metoda 2

Gaussovou eliminací vyriesit priklad:

3x1 −2x2 −5x3 + x4 = 3
2x1 −3x2 + x3 +5x4 = −3
x1 +2x2 −4x4 = −3
x1 − x2 −4x3 +9x4 = 22

Správná odpověď:

x₁ = -1
x₂ = 3
x₃ = -2
x₄ = 2

Postup správného řešení:

3x₁ −2x₂ −5x₃ + x₄ = 3
2x₁ −3x₂ + x₃ +5x₄ = −3
x₁ +2x₂ −4x₄ = −3
x₁ − x₂ −4x₃ +9x₄ = 22

3·x₁ -2·x₂ -5·x₃ + x₄ = 3
2·x₁ -3·x₂ + x₃ +5·x₄ = -3
x₁ +2·x₂ -4·x₄ = -3
x₁ - x₂ -4·x₃ +9·x₄ = 22

3x₁-2x₂-5x₃+x₄ = 3
2x₁-3x₂+x₃+5x₄ = -3
x₁+2x₂-4x₄ = -3
x₁-x₂-4x₃+9x₄ = 22

Řádek 2 - 2/3 · Řádek 1 → Řádek 2
3x₁-2x₂-5x₃+x₄ = 3
-1,6667x₂+4,3333x₃+4,3333x₄ = -5
x₁+2x₂-4x₄ = -3
x₁-x₂-4x₃+9x₄ = 22

Řádek 3 - 1/3 · Řádek 1 → Řádek 3
3x₁-2x₂-5x₃+x₄ = 3
-1,6667x₂+4,3333x₃+4,3333x₄ = -5
2,6667x₂+1,6667x₃-4,3333x₄ = -4
x₁-x₂-4x₃+9x₄ = 22

Řádek 4 - 1/3 · Řádek 1 → Řádek 4
3x₁-2x₂-5x₃+x₄ = 3
-1,6667x₂+4,3333x₃+4,3333x₄ = -5
2,6667x₂+1,6667x₃-4,3333x₄ = -4
-0,3333x₂-2,3333x₃+8,6667x₄ = 21

Pivot: Řádek 2 ↔ Řádek 3
3x₁-2x₂-5x₃+x₄ = 3
2,6667x₂+1,6667x₃-4,3333x₄ = -4
-1,6667x₂+4,3333x₃+4,3333x₄ = -5
-0,3333x₂-2,3333x₃+8,6667x₄ = 21

Řádek 3 - -1,66666667/2,66666667 · Řádek 2 → Řádek 3
3x₁-2x₂-5x₃+x₄ = 3
2,6667x₂+1,6667x₃-4,3333x₄ = -4
5,375x₃+1,625x₄ = -7,5
-0,3333x₂-2,3333x₃+8,6667x₄ = 21

Řádek 4 - -0,33333333/2,66666667 · Řádek 2 → Řádek 4
3x₁-2x₂-5x₃+x₄ = 3
2,6667x₂+1,6667x₃-4,3333x₄ = -4
5,375x₃+1,625x₄ = -7,5
-2,125x₃+8,125x₄ = 20,5

Řádek 4 - -2,125/5,375 · Řádek 3 → Řádek 4
3x₁-2x₂-5x₃+x₄ = 3
2,6667x₂+1,6667x₃-4,3333x₄ = -4
5,375x₃+1,625x₄ = -7,5
8,7674x₄ = 17,5349

x4 = 17,53488372/8,76744186 = 2
x3 = -7,5-1,625x4/5,375 = -7,5-1,625 · 2/5,375 = -2
x2 = -4-1,6666666666667x3+4,3333333333333x4/2,66666667 = -4-1,66666667 · (-2)+4,33333333 · 2/2,66666667 = 3
x1 = 3+2x2+5x3-x4/3 = 3+2 · 3+5 · (-2)-2/3 = -1

x₁ = -1
x₂ = 3
x₃ = -2
x₄ = 2

Vypočtené naším kalkulátorem soustavy lineárních rovnic.