Kombinácie s opakovaním

Kalkulačka vypočíta koľkými rôznymi spôsobmi sa dajú vybrať k prvkov z množiny n prvkov. S/bez uvažovania poradia, s/bez opakovania. Vypočíta počet variácií, permutácií, kombinácií, variácií s opakovaním a kombinácií s opakovaním:

(n)
(k)

Výpočet:

Ck(n)=(n+k1k)  n=11 k=3  C3(11)=C3(11+31)=C3(13)=(133)=13!3!(133)!=131211321=286

Počet kombinácií s opakovaním: 286



Trošku teórie - základy kombinatoriky

Variácie

Variácia k-tej triedy z n prvkov je usporiadaná k-prvková skupina vytvorená z množiny n prvkov. Prvky sa neopakujú a záleži na poradí prvkov v skupine (preto usporiadaná).

Počet variácií vypočítame ľahko použitím kombinatorického pravidla súčinu. Ak máme napríklad množinu n=5 čísel 1,2,3,4,5 a máme urobiť variácie tretej triedy, bude ich V3(5) = 5*4*3 = 60.
Vk(n)=n(n1)(n2)...(nk+1)=n!(nk)!
n! voláme faktoriál čísla n a je to súčin prvých n prirodzených čísel. Zápis s faktoriálom je len prehľadnejší, ekvivalentný, pre výpočty je plne postačujúce používať postup vyplývajúci z kombinatorického pravidla súčinu.

Permutácie

Permutácia je synonymický názov pre variáciu n-tej triedy z n-prvkov. Je to teda každá n-prvková usporiadaná skupina vytvorená z n-prvkov. Prvky sa neopakujú a záleži na poradí prvkov v skupine.
P(n)=n(n1)(n2)...1=n!
Typický príklad je: Máme 4 knihy a koľkými spôsobmi ich môžme usporiadať vedľa seba v poličke?

Variácie s opakovaním

Variácia k-tej triedy z n prvkov je usporiadaná k-prvková skupina vytvorených z množiny n prvkov, pričom prvky sa môžu opakovať a záleží na ich poradí. Typickým príkladom je tvorenie čísel z číslic 2,3,4,5 a zistenie ich počtu. Ich počet podľa kombinatorického pravidla súčinu vypočítame:
Vk(n)=nnnn...n=nk

Permutácie s opakovaním

Permutácia s opakovaním je usporiadaná k-prvková skupina z n-prvkov, pričom niektoré prvky sa opakujú v skupine. Opakovanie niektorých (alebo všetkých v skupine) znižuje počet takýchto permutácií s opakovaním.
Pk1k2k3...km(n)=n!k1!k2!k3!...km!
Typický príklad je zistiť koľko je sedemmiestnych čísel utvorených z číslic 2,2,2, 6,6,6,6.

Kombinácie

Kombinácia k-tej triedy z n prvkov je neusporiadaná k-prvková skupina vytvorená z množiny n prvkov. Prvky sa neopakujú a nezáleži na poradí prvkov v skupine. Neusporiadané skupiny sa v matematike volajú množiny resp. podmnožiny. Ich počet je kombinačné číslo a vypočíta sa takto:
Ck(n)=(nk)=n!k!(nk)!
Typický príklad na kombinácie je že máme 15 žiakov a máme vybrať trojice. Koľko ich bude?

Kombinácie s opakovaním

Tu vyberáme k prvkové skupiny z n prvkov, pričom nezáleží na poradí a prvky sa môžu opakovať. k je logicky väčšie ako n (inak by sme dostali kombinácie obyčajné). Ich počet je:
Ck(n)=(n+k1k)=(n+k1)!k!(n1)!
Vysvetlenie vzorca - počet kombinácii s opakovaním sa rovná počtu umiestnení n−1 oddeľovačov na n-1+k miest. Typický príklad je: ideme si do obchodu kúpiť 6 čokolád. V ponuke majú len 3 druhy. Koľko máme možností? k=6, n=3..

Základy kombinatoriky v slovných úlohách

  • V žrebovacej
    losovanie V žrebovacej sťaži sa žrebuje 5 čísel spomedzi 35. Za tri uhádnuté čísla sa vypláca tretia cena. Aká je pravdepodobnosť, že vyhráme tretiu cenu, ak podáme tiket s jednou päticou čísel?
  • PIN - kódy
    pin Koľko päťciferných PIN - kódov môžeme vytvoriť s použitím párnych číslic?
  • Učivo
    test Študent ovláda učivo ku skúške z ČJ na 98%, z M na 86% a z Ek na 71%. Aká je pravdepodobnosť, že neuspeje z M a z ostatných uspeje?
  • Priamky
    primky V koľkých bodoch sa pretína 9 priamok v rovine, z ktorých 4 sú navzájom rovnobežné a z ostatných 5 žiadne dve nie sú rovnobežné (a ak predpokladáme, že každým priesečníkom prechádzajú len dve priamk)?
  • Skúšanie z matematiky
    math_mo V triede je 25 žiakov z nich 12 nie je na matematiku pripravených. Na hodine matematiky odpovedajú 5 žiaci. Aká je pravdepodobnosť ze aspoň 3 sú na matematiku pripravení?
  • V teste
    binomial V teste je šesť otázok. Ku každej sú ponúknuté 3 odpovede - z nich je iba jedna správna. Na to, aby študent urobil skúšku, treba správne odpovedať aspoň na štyri otázky. Alan sa vôbec neučil, a tak odpovede zakrúžkovával iba hádaním. Aká je pravdepodobnos
  • MATES
    sazka V MATESe (Malé televizné sázení) sa z 35 čísel losuje 5 vyhrávajúcich čísel. Koľko je možností?
  • Relatívna zmena
    percent Obrat spoločnosti za obdobie 2011 - 2013 sa zvýšil o 3,7%. Od 2013 do 2019 bol zaznamenaný priemerný medziročný pokles obratu o 5%. Aká je celková relatívna zmena obratu od 2013 do 2019?
  • Chrípka
    virus V sledovanej skupine ľudí je 8% chorých na chrípku. Vyšetrilo sa 100 ľudí z tejto skupiny. Aká je pravdepodobnosť, že najviac 5 z nich bude chorých na chrípku? (zaokrúhlite na 3 desatinné miesta)
  • Pravdepodobnosť dážď
    rain Za posledné roky pršalo 12 dní v marci. Aká je pravdepodobnosť, že pršalo 18. marca?
  • 7 statočných
    7statocnych 5 hrdinov cvála na 5 koňoch za sebou. Koľkými spôsobmi ich možno zoradiť za sebou?
  • Zo Zubrohlavy
    mapa Zo Zubrohlavy do Bobrova vedie jedna asfaltová cesta, dve lesné cesty a jedna cyklocesta. Určite počet spôsobov, ktorými sa dostaneme zo Zubrohlavy do Bobrova a späť. Vypíšte všetky možnosti.
  • Turnaj 3
    tenis Na stolnotenisovom turnaji sa zúčastnilo 8 hráčov. Systém turnaja je taký, že každý hráč hrá s každým len raz. Koľko zápasov sa odohrá na tomto turnaji?
  • Stroj 9
    work Stroj vyrobí jednu súčiastku za 2 minúty. Pravdepodobnosť, že je chybná je 0,05. Aká je pravdepodobnosť, že za smenu (8 hodín) stroj vyrobí práve 10 chybných súčiastok?
  • Hráč hádžuci
    dices2 Hráč hádžuci tromi kockami, položil G. Galileiovi otázku : „Mám staviť na súčet 11 alebo súčet 12?“ Čo mu Galilei odpovedal? Nápoveda: rozpíšte si všetky trojice čísiel, ktoré môžu byť hodené a : majú súčet 11 majú súčet 12 a porovnať pravdepodobnosti.
  • V kine
    cinema2 V kine sedi vedľa seba 7 chlapcov. Koľkými spôsobmi sa môžu usadiť na sedadlá, ak chlapci chcú sedieť vedľa seba?


slovné úlohy - viacej »