Kombinácie s opakovaním n=11, k=3 výsledok
Kalkulačka vypočíta počet kombinácií k-tej triedy z n prvkov s opakovaním. Kombinácie s opakovaním sú neusporiadané k-tice zostavená z n prvkov tak, že každý je v nej najviac k-krát.Výpočet:
Ck′(n)=(kn+k−1) n=11 k=3 C3′(11)=C3(11+3−1)=C3(13)=(313)=3!(13−3)!13!=3⋅2⋅113⋅12⋅11=286
Počet kombinácií s opakovaním: 286
Trošku teórie - základy kombinatoriky
Variácie
Variácia k-tej triedy z n prvkov je usporiadaná k-prvková skupina vytvorená z množiny n prvkov. Prvky sa neopakujú a záleži na poradí prvkov v skupine (preto usporiadaná).Počet variácií vypočítame ľahko použitím kombinatorického pravidla súčinu. Ak máme napríklad množinu n=5 čísel 1,2,3,4,5 a máme urobiť variácie tretej triedy, bude ich V3(5) = 5*4*3 = 60.
Vk(n)=n(n−1)(n−2)...(n−k+1)=(n−k)!n!
n! voláme faktoriál čísla n a je to súčin prvých n prirodzených čísel. Zápis s faktoriálom je len prehľadnejší, ekvivalentný, pre výpočty je plne postačujúce používať postup vyplývajúci z kombinatorického pravidla súčinu.
Permutácie
Permutácia je synonymický názov pre variáciu n-tej triedy z n-prvkov. Je to teda každá n-prvková usporiadaná skupina vytvorená z n-prvkov. Prvky sa neopakujú a záleži na poradí prvkov v skupine.P(n)=n(n−1)(n−2)...1=n!
Typický príklad je: Máme 4 knihy a koľkými spôsobmi ich môžme usporiadať vedľa seba v poličke?
Variácie s opakovaním
Variácia k-tej triedy z n prvkov je usporiadaná k-prvková skupina vytvorených z množiny n prvkov, pričom prvky sa môžu opakovať a záleží na ich poradí. Typickým príkladom je tvorenie čísel z číslic 2,3,4,5 a zistenie ich počtu. Ich počet podľa kombinatorického pravidla súčinu vypočítame:Vk′(n)=n⋅n⋅n⋅n...n=nk
Permutácie s opakovaním
Permutácia s opakovaním je usporiadaná k-prvková skupina z n-prvkov, pričom niektoré prvky sa opakujú v skupine. Opakovanie niektorých (alebo všetkých v skupine) znižuje počet takýchto permutácií s opakovaním.Pk1k2k3...km′(n)=k1!k2!k3!...km!n!
Typický príklad je zistiť koľko je sedemmiestnych čísel utvorených z číslic 2,2,2, 6,6,6,6.
Kombinácie
Kombinácia k-tej triedy z n prvkov je neusporiadaná k-prvková skupina vytvorená z množiny n prvkov. Prvky sa neopakujú a nezáleži na poradí prvkov v skupine. Neusporiadané skupiny sa v matematike volajú množiny resp. podmnožiny. Ich počet je kombinačné číslo a vypočíta sa takto:Ck(n)=(kn)=k!(n−k)!n!
Typický príklad na kombinácie je že máme 15 žiakov a máme vybrať trojice. Koľko ich bude?
Kombinácie s opakovaním
Tu vyberáme k prvkové skupiny z n prvkov, pričom nezáleží na poradí a prvky sa môžu opakovať. k je logicky väčšie ako n (inak by sme dostali kombinácie obyčajné). Ich počet je:Ck′(n)=(kn+k−1)=k!(n−1)!(n+k−1)!
Vysvetlenie vzorca - počet kombinácii s opakovaním sa rovná počtu umiestnení n−1 oddeľovačov na n-1+k miest. Typický príklad je: ideme si do obchodu kúpiť 6 čokolád. V ponuke majú len 3 druhy. Koľko máme možností? k=6, n=3..
Základy kombinatoriky v slovných úlohách
- Výpočet KČ
Vypočítajte: (1000 choose 114) - (1000 choose 886) - Janko 10
Janko má 4 rovnaké žlté kocky a 3 rovnaké modré kocky. Koľko rôznych farebných hadov z nich môže urobiť? - Kartári
Hráč dostane 8 kariet z 32. Aká je pravdepodobnosť že dostane a, všetky 4 esá b. aspoň 1 eso - Petra 6
Petra si na začiatku letných prázdnin vypožičala z knižnice štyri knihy. Koľko je poradí, v ktorých ich postupne mohla prečítať? - Dvojice 3
Z 5 dievčat a 4 chlapcov majú vybrať jednu dvojicu chlapec a dievča. Vypíš všetky dvojice, v ktorých budú jednotliví chlapci. Pozor, sú to 4 príklady. Koľko je všetkých dvojíc? - Súťažiaci
Súťažiaci majú vytvoriť zmrzlinový pohár, ktorý musí obsahovať tri rôzne druhy zmrzliny. Použiť môžu kakaovú, jogurtovú, vanilkovú, orieškovú, punčovú, citrónovú a čučoriedkovú zmrzlinu. Koľko rôznych zmrzlinových pohárov môžu súťažiaci vytvoriť? - Vo vrecúšku
Vo vrecúšku sú žetóny na ktorých sú čísla od 1 po 25. Aká je pravdepodobnosť, že sme vybrali číslo s ciferným súčtom 6? - Pravdepodobnosti
Ak P(A) = 0,27 P(B) = 0,14 a P (A ∩ B) = 0,12, vypočítajte nasledovné pravdepodobnosti (zjednotenia. prienikov, opačných javov a ich kombinácií): - Priamky
V koľkých bodoch sa pretína 9 priamok v rovine, z ktorých 4 sú navzájom rovnobežné a z ostatných 5 žiadne dve nie sú rovnobežné (a ak predpokladáme, že každým priesečníkom prechádzajú len dve priamk)? - Prvá akosť
V zásielke je 40 výrobkov. 36 prvá akosť, 4 sú chybné. Koľkými spôsobmi možno vybrať 5 výrobkov, tak aby bol maximálne jeden chybný? - Určte 13
Určte počet všetkých štvorciferných prirodzených čísel, v dekadickom zápise, v ktorých nie je číslica 0 a zo zvyšných deviatich čísel sa v ňom každá nachádza najviac raz. - Slovo KLADIVO
Koľko slov sa dá vytvoriť zo slova KLADIVO, ak chceme, aby niekde bolo vedľa seba napísané slovo VODA? - Pravdepodobnosť 67
Pravdepodobnosť výskytu určitého javu je pri všetkých pokusoch rovnaká a rovná sa 0,7. Pokusy sa opakujú tak dlho, pokiaľ tento jav nenastane. Aká je pravdepodobnosť, že budeme musieť urobiť piaty pokus? - Pravdepodobnosťou 69714
V továrni sa vyrába 35% dlaždičiek na linke A, ktorá vyrába nepodarky s pravdepodobnosťou 0,02 a 65% na linke B, kde je pravdepodobnosť nepodarkov 0,03. Aká je pravdepodobnosť, že vybraná dlaždička bude chybná? - Zistite 5
Zistite, koľko rôznych štvorciferných čísel môžeme vytvoriť z číslic 3 a 8 tak, aby v každom vytvorenom štvorcifernom čísle boli použité dve číslice 3 a dve číslice 8.
slovné úlohy - viacej »