Priadza

Pracovníčka obsluhuje 600 vretien, na ktoré sa navíja priadza. Pravdepodobnosť roztrhnutia priadze na každom z vretien za čas t je 0,005.

a) Určte rozdelenie pravdepodobnosti počtu roztrhnutých vretien za čas t a strednú hodnotu a rozptyl.
b) Aká je pravdepodobnosť, že sa za čas t neroztrhne viac ako 5 vretien?

Správna odpoveď:

Našiel si chybu či nepresnosť? Kľudne nám ju napíš.

Zobrazujem 1 komentár:

Dr. Math

- Počet vretien: n = 600
- Pravdepodobnosť roztrhnutia na každom vretene za čas t : p = 0,005

a) Určte rozdelenie pravdepodobnosti, strednú hodnotu a rozptyl

Náhodná premenná X – počet roztrhnutých vretien za čas t – sleduje binomické rozdelenie:

X sim Binomial(n=600, p=0,005)

Stredná hodnota (očakávaná hodnota) pre binomické rozdelenie:

E[X] = n · p = 600 · 0,005 = 3

Rozptyl pre binomické rozdelenie:

Var(X) = n · p · (1-p) = 600 · 0,005 · 0,995 = 3 · 0,995 = 2,985

Odpoveď pre časť a):
- Rozdelenie: X sim Binomial(600; 0,005)
- Stredná hodnota: E[X] = 3
- Rozptyl: Var(X) = 2,985

b) Pravdepodobnosť, že sa neroztrhne viac ako 5 vretien (t.j. X ≤ 5 )

Chceme vypočítať:

P(X ≤ 5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)

Keďže n = 600 je veľké a p = 0,005 je malé, môžeme použiť Poissonovu aproximáciu binomického rozdelenia s parametrom:

lambda = n · p = 600 · 0,005 = 3

Teda X ≈ Poisson(lambda=3) .

Potom:

P(X = k) ≈ e^{-lambda} lambda^kk!

Vypočítame:

P(X ≤ 5) = sum_{k=0}^{5} e^{-3} 3^kk!

Vypočítame každý člen:

- k=0 : e^{-3} · 3⁰0! = e^{-3} · 1 ≈ 0,049787
- k=1 : e^{-3} · 3¹1! = e^{-3} · 3 ≈ 0,149361
- k=2 : e^{-3} · 3²2! = e^{-3} · 92 ≈ 0,224042
- k=3 : e^{-3} · 3³3! = e^{-3} · 276 ≈ 0,224042
- k=4 : e^{-3} · 3⁴4! = e^{-3} · 8124 ≈ 0,168031
- k=5 : e^{-3} · 3⁵5! = e^{-3} · 243120 ≈ 0,100819

Sčítame:

P(X ≤ 5) ≈ 0,049787 + 0,149361 + 0,224042 + 0,224042 + 0,168031 + 0,100819 = 0,916082

Zaokrúhlime na 4 desatinné miesta:

P(X ≤ 5) ≈ 0,9161

Odpoveď pre časť b):
Pravdepodobnosť, že sa za čas t neroztrhne viac ako 5 vretien, je približne 0,9161 (t.j. 91,61 %).

---

10 dní Like