Variácie (bez opakovania) n=11, k=3 výsledok
Kalkulačka vypočíta počet variácií k-tej striedy z n prvkov. Variácia k-tej triedy z n prvkovej množiny M, je každá usporiadaná k-prvková skupina zostavená iba z týchto n prvkov tak, že každý sa v nej nachádza najviac raz.Výpočet:
Vk(n)=(n−k)!n! n=11 k=3 V3(11)=(11−3)!11!=8!11!=11⋅10⋅9=990
Počet variácii: 990
Trošku teórie - základy kombinatoriky
Variácie
Variácia k-tej triedy z n prvkov je usporiadaná k-prvková skupina vytvorená z množiny n prvkov. Prvky sa neopakujú a záleži na poradí prvkov v skupine (preto usporiadaná).Počet variácií vypočítame ľahko použitím kombinatorického pravidla súčinu. Ak máme napríklad množinu n=5 čísel 1,2,3,4,5 a máme urobiť variácie tretej triedy, bude ich V3(5) = 5*4*3 = 60.
Vk(n)=n(n−1)(n−2)...(n−k+1)=(n−k)!n!
n! voláme faktoriál čísla n a je to súčin prvých n prirodzených čísel. Zápis s faktoriálom je len prehľadnejší, ekvivalentný, pre výpočty je plne postačujúce používať postup vyplývajúci z kombinatorického pravidla súčinu.
Permutácie
Permutácia je synonymický názov pre variáciu n-tej triedy z n-prvkov. Je to teda každá n-prvková usporiadaná skupina vytvorená z n-prvkov. Prvky sa neopakujú a záleži na poradí prvkov v skupine.P(n)=n(n−1)(n−2)...1=n!
Typický príklad je: Máme 4 knihy a koľkými spôsobmi ich môžme usporiadať vedľa seba v poličke?
Variácie s opakovaním
Variácia k-tej triedy z n prvkov je usporiadaná k-prvková skupina vytvorených z množiny n prvkov, pričom prvky sa môžu opakovať a záleží na ich poradí. Typickým príkladom je tvorenie čísel z číslic 2,3,4,5 a zistenie ich počtu. Ich počet podľa kombinatorického pravidla súčinu vypočítame:Vk′(n)=n⋅n⋅n⋅n...n=nk
Permutácie s opakovaním
Permutácia s opakovaním je usporiadaná k-prvková skupina z n-prvkov, pričom niektoré prvky sa opakujú v skupine. Opakovanie niektorých (alebo všetkých v skupine) znižuje počet takýchto permutácií s opakovaním.Pk1k2k3...km′(n)=k1!k2!k3!...km!n!
Typický príklad je zistiť koľko je sedemmiestnych čísel utvorených z číslic 2,2,2, 6,6,6,6.
Kombinácie
Kombinácia k-tej triedy z n prvkov je neusporiadaná k-prvková skupina vytvorená z množiny n prvkov. Prvky sa neopakujú a nezáleži na poradí prvkov v skupine. Neusporiadané skupiny sa v matematike volajú množiny resp. podmnožiny. Ich počet je kombinačné číslo a vypočíta sa takto:Ck(n)=(kn)=k!(n−k)!n!
Typický príklad na kombinácie je že máme 15 žiakov a máme vybrať trojice. Koľko ich bude?
Kombinácie s opakovaním
Tu vyberáme k prvkové skupiny z n prvkov, pričom nezáleží na poradí a prvky sa môžu opakovať. k je logicky väčšie ako n (inak by sme dostali kombinácie obyčajné). Ich počet je:Ck′(n)=(kn+k−1)=k!(n−1)!(n+k−1)!
Vysvetlenie vzorca - počet kombinácii s opakovaním sa rovná počtu umiestnení n−1 oddeľovačov na n-1+k miest. Typický príklad je: ideme si do obchodu kúpiť 6 čokolád. V ponuke majú len 3 druhy. Koľko máme možností? k=6, n=3..
Základy kombinatoriky v slovných úlohách
- Olympiáda
Koľkými spôsobmi sa môžu umiestniť šiesti pretekári na medailových pozíciách na olympiáde? Na farbe kovu záleží.
- Pravdepodobnosť 2955
V triede je 18 dievčat a 13 chlapcov. Pre dozor cez prestávky sa žrebom určia 4 žiaci. Aká je pravdepodobnosť, že to budú sami chlapci?
- Hráč futbalového
Hráč futbalového tímu strelí gól z pokutového kopu s pravdepodobnostou 0,8. Brankár má úspešnosť chytených pokutových kopov 0,4 Aká je pravdepodobnosť že: a) - padne gól pri realizácii jedného kopu b) - že gól nepadne pri realizácii jedného kopu
- Totálna nekvalita
Máme tri série výrobkov. Vyberieme na kontrolu kvality jeden výrobok. Určte pravdepodobnosť toho, že sa zistí nekvalitná výroba, ak v prvej sérii je 2/3, v druhej 7/9 a v tretej 3/4 kvalitných výrobkov.
- Päťciferné čísla
Nájdi všetky päťciferné čísla, ktoré sa dajú vytvoriť z čísel 12345 tak, aby sa čísla neopakovali a tiež tak, aby sa cisla opakovali. Uveď aj výpočet.
- Bezpečnostný kód
Bezpečnostný kód trezoru sa nastavuje troma kotúčmi. Na prvom je päť rôznych písmen, na druhom sú číslice 0 až 4, na treťom sú číslice 5 až 9. Jeden kód sa dá nastaviť približne za 1 sekundu . Ako treba načasovať spustenie alarmu, aby zaznel v pätine času
- Pravdepodobnosť 80895
Spravodlivá kocka sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že súčet skóre je takmer 8?
- Traja strelci
Traja strelci strieľajú, každý raz, na ten istý terč. Prvý zasiahne cieľ s pravdepodobnosťou 0,7; druhý s pravdepodobnosťou 0,8 a tretí s pravdepodobnosťou 0,9. Aká je pravdepodobnsť, že terč zasiahnu: a) práve raz b) aspoň raz c) aspoň dvakrát
- Roviny
V priestore je 12 bodov, pričom, žiadne 3 neležia na priamke. Koľko rôznych rovín je určených týmito bodmi?
- Hod kockami
Keď hádžeš desiatimi kockami naraz, tak v priemere hodíš 35. Koľko priemerne hodíš, ak vždy keď padne šestka hádžeš tou kockou znova?
- Žiaci 10
Koľko rôznych trojíc je možné vytvoriť zo 4 žiakov, ak nezáleží na poradí žiakov v trojiciach?
- Počet trojuholníkov
Je daný štvorec ABCD a na každej jeho strane 6 vnútorných bodov. Určte počet všetkých trojuholníkov s vrcholmi v týchto bodoch.
- ŠPZ
Koľko rôznych ŠPZ môže krajina mať, ak sa používa 3 písmen nasledované 2 číslicami?
- Máme vo
Máme vo vrecku 10 bielych, 10 červených a desať modrých guličiek. Vybrali sme 5 bielych, 2 červené a 3 modré guličky. Aká je pravdepodobnosť, že v nasledujúcom ťahu vyberieme bielu guličku?
- Záhradníctvo
Záhradníctvo predáva sadenice ešte nevykvitnutých rúži. Z dlhodobých skúsenosti je známe, že 91% týchto sadeníc vykvitne načerveno, ale zvyšné sadenice nevykvitnú vôbec. Priemerná Životnosť sadenice je 36 hodín. Rúže sú predávané v krabiciach po 6 kusoch.
- Klobúk
V klobúku sú čísla od 1-20. Aká je pravdepodobnosť, že z klobúka vytiahneme: a/ jednociferné číslo b/ prvočíslo c/ číslo vačšie ako 11 d/ číslo deliteľné šiestimi Ďakujem
slovné úlohy - viacej »