Variácie (bez opakovania)

Kalkulačka vypočíta koľkými rôznymi spôsobmi sa dajú vybrať k prvkov z množiny n prvkov. S/bez uvažovania poradia, s/bez opakovania. Vypočíta počet variácií, permutácií, kombinácií, variácií s opakovaním a kombinácií s opakovaním:

Výpočet:

V_{k} (n) = \frac{n!}{(n - k)!} n = 11 k = 3 V_{3} (11) = \frac{11!}{(11 - 3)!} = \frac{11!}{8!} = 11 \cdot 10 \cdot 9 = 990

Počet variácii: 990

Trošku teórie - základy kombinatoriky

Variácie

Variácia k-tej triedy z n prvkov je usporiadaná k-prvková skupina vytvorená z množiny n prvkov. Prvky sa neopakujú a záleži na poradí prvkov v skupine (preto usporiadaná).

Počet variácií vypočítame ľahko použitím kombinatorického pravidla súčinu. Ak máme napríklad množinu n=5 čísel 1,2,3,4,5 a máme urobiť variácie tretej triedy, bude ich V₃(5) = 5*4*3 = 60.

V_{k} (n) = n (n - 1) (n - 2) . . . (n - k + 1) = \frac{n!}{(n - k)!}

n! voláme faktoriál čísla n a je to súčin prvých n prirodzených čísel. Zápis s faktoriálom je len prehľadnejší, ekvivalentný, pre výpočty je plne postačujúce používať postup vyplývajúci z kombinatorického pravidla súčinu.

Permutácie

Permutácia je synonymický názov pre variáciu n-tej triedy z n-prvkov. Je to teda každá n-prvková usporiadaná skupina vytvorená z n-prvkov. Prvky sa neopakujú a záleži na poradí prvkov v skupine.

P (n) = n (n - 1) (n - 2) . . . 1 = n!

Typický príklad je: Máme 4 knihy a koľkými spôsobmi ich môžme usporiadať vedľa seba v poličke?

Variácie s opakovaním

Variácia k-tej triedy z n prvkov je usporiadaná k-prvková skupina vytvorených z množiny n prvkov, pričom prvky sa môžu opakovať a záleží na ich poradí. Typickým príkladom je tvorenie čísel z číslic 2,3,4,5 a zistenie ich počtu. Ich počet podľa kombinatorického pravidla súčinu vypočítame:

V_{k}^{'} (n) = n \cdot n \cdot n \cdot n . . . n = n^{k}

Permutácie s opakovaním

Permutácia s opakovaním je usporiadaná k-prvková skupina z n-prvkov, pričom niektoré prvky sa opakujú v skupine. Opakovanie niektorých (alebo všetkých v skupine) znižuje počet takýchto permutácií s opakovaním.

P_{k_{1} k_{2} k_{3} . . . k_{m}}^{'} (n) = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! k_{3}! . . . k_{m}!}

Typický príklad je zistiť koľko je sedemmiestnych čísel utvorených z číslic 2,2,2, 6,6,6,6.

Kombinácie

Kombinácia k-tej triedy z n prvkov je neusporiadaná k-prvková skupina vytvorená z množiny n prvkov. Prvky sa neopakujú a nezáleži na poradí prvkov v skupine. Neusporiadané skupiny sa v matematike volajú množiny resp. podmnožiny. Ich počet je kombinačné číslo a vypočíta sa takto:

C_{k} (n) = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

Typický príklad na kombinácie je že máme 15 žiakov a máme vybrať trojice. Koľko ich bude?

Kombinácie s opakovaním

Tu vyberáme k prvkové skupiny z n prvkov, pričom nezáleží na poradí a prvky sa môžu opakovať. k je logicky väčšie ako n (inak by sme dostali kombinácie obyčajné). Ich počet je:

C_{k}^{'} (n) = (\binom{n + k - 1}{k}) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!}

Vysvetlenie vzorca - počet kombinácii s opakovaním sa rovná počtu umiestnení n−1 oddeľovačov na n-1+k miest. Typický príklad je: ideme si do obchodu kúpiť 6 čokolád. V ponuke majú len 3 druhy. Koľko máme možností? k=6, n=3..

Základy kombinatoriky v slovných úlohách

Firma
Firma doteraz vyrobila 500 000 áut a z toho 5000 bolo vadných. Aká je pravdepodobnosť, že z dennej produkcie 50 áut bude najviac jedno auto vadné?
Na polici
Na polici je uložených 27 atlasov, 29 slovníkov, 8 učebníc a 16 encyklopédií. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybraná kniha z tejto police je encyklopédia? Výsledok uveďte v percentách.
Počet trojuholníkov
Je daný štvorec ABCD a na každej jeho strane 9 vnútorných bodov. Určte počet všetkých trojuholníkov s vrcholmi v týchto bodoch.
Turnaj 3
Na stolnotenisovom turnaji sa zúčastnilo 8 hráčov. Systém turnaja je taký, že každý hráč hrá s každým len raz. Koľko zápasov sa odohrá na tomto turnaji?
Farba kovu
Koľkými spôsobmi sa môžu umiestniť 6 pretekári na medailových pozíciach na olympiáde? Na farbe kovu záleží.
Poistka
Majiteľ domu je poistený voči živelným pohromám a platí ročne 0,04% z hodnoty domu poistku 77 Eur. Vypočítajte hodnotu jeho domu. Vypočítajte aká je pravdepodobnosť živelnej pohromy, ak viete že 48% z ceny poistky ide na úhradu škôd.
Eso
Z kompletnej kartovej sady (32 kariet) vytiahneme 1 kartu. Aká je pravdepodobnosť, že vytiahneme eso?
3 ceny
Koľkými spôsobmi možno odmeniť prvou, druhou a treťou cenou 9 účastníkov športovej súťaže?
7-násobok
7-násobok permutácií z n prvkov sa rovná osmine permutácií z n+2 prvkov. Aký je počet prvkov?
V skupine
V skupine je 11 žiakov, medzi nimi práve jeden Martin. Koľko je všetkých možností na rozdanie 4 rôznych kníh týmto žiakom, ak každý z nich má dostať najviac jednu a Martin práve jednu z týchto kníh".
Skúšanie 3
V III. FPR triede je 22 žiakov. Koľkými spôsobmi možno vybrať štvoricu žiakov na skúšanie na hodine DVK?
Eva sa
Eva sa spolu s ďalšími 199 deviatakmi zúčastnila prijímacích pohovorov na Vysnenú školu, ktorá však prijíma len 120 najúspešnejších. Aká je pravdepodobnosť jej prijatia?
Skúšajúci
Skúšajúci má pripravených 20 príkladov z aritmetiky. Na písomku chce vybrať 7 príkladov. Na poradí príkladov nezáleží. Koľko rôznych písomiek vie zostaviť?
Šiesti
Šiesti chlapci sa majú doviesť dvojsedačkou na kopec. Koľko možností existuje?
Pravdepodobnosť 9
Manželka neprišla včas domov z práce. Manžel zo skúsenosti vie, že s pravdepodobnosťou 0,3 sa zarozprávala s kolegyňou alebo s pravdepodobnosťou 0,6 išla na nákupy alebo s pravdepodobnosťou 0,1 sa zdržala z iných dôvodov. Manžel vie, že o 16,00 bude manže
Koľkými 5
Koľkými spôsobmi mohli štyria účastníci finále športovej súťaže Peťo, Juro, Martin a Števo obsadiť prvé tri miesta? Napíšte jednotlivé možnosti.

slovné úlohy - viacej »