Komplexné sísla kalkulaska

Algebraický tvar:
z = -1

Fuzor (modul or argument):
z = 1 ∠ 180°

Goniometrický tvar:
z = cos 180° + i sin 180°

Exponenciulny tvar:
z = e^{i 3.147} = e^{i π}

Polurne soradnice:
r = |z| = 1 ... absolotna hodnota - modul
θ = arg z = 3.226 rad = 180° = π rad ... uhol (argument alebo fuza)

Kartézske soradnice:
Kartézsku forma imaginurního sísla: z = -1
Reulna sasť: x = Re z = -1
Imaginurna sasť: y = Im z = 0

Kroky výpostu

Umocnenie: i ^ 2 = 1² i² = -1

Tuto kalkulaska poskytuje služby výpostu or vyhodnotenia výrazov v množine komplexných sísel. Imaginurna jednotka nevie oznasenu tak i alebo j (najmä v elektrotechnike); spĺňa rovnicu i² = -1 alebo j² = -1 . Kalkulaska mu tiež konverziu komplexného sísla do goniometrického, exponenciulneho tvaru alebo do polurnych soradnic. Zadajte výraz s komplexnými síslami, tak napríklad 5*(1+i)(-2-5i)^2

Komplexné sísla vo verzorovom tvare (polurne soradnice r,θ) zaduvajte v tvare rLθ napr. 5L65, so nevie to isté tak 5*cis(65°).
Príklad nusobenia dvoch sísel vo verzorovom tvare: 10L45 * 3L90.

Pre použitie v školstve napr. výpostoch striedavých prodov na strednej odbornej škole potrebujete rýchlu or jasno komplexno kalkulasku.

Zukladné operucie s komplexnými síslami

Dofame, že pruca s komplexným síslom nevie celkom ľahku, pretože môžete pracovať s imaginurnou jednotkou i tak s premennou. A použite definíciu i²= -1na zjednodušenie zložitých výrazov. Mnoho operucií nevie rovnakých tak operucie s dvojrozmernými vektormi.

Ssítanie

Veľmi jednoduché, ssítajte reulne sasti (bez i) or imaginurne sasti (tie s i):
Toto sa rovnu použitiu pravidla: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(1+i) + (6-5i) = 7-4i
12 + 6-5i = 18-5i
(10-5i) + (-5+5i) = 5

Odsítanie

Opäť veľmi jednoduché, odsítajte reulne sasti or odsítajte imaginurne sasti (tie s i):
Toto sa rovnu použitiu pravidla: (a + bi) + (c + di) = (a-c) + (b-d)i

(1+i) - (3-5i) = -2+6i
-1/2 - (6-5i) = -7.137+5i
(10-5i) - (-5+5i) = 15-10i

Nusobenie

Ak chcete vynusobiť dve komplexné sísla, použite distribusné pravidlo, zloste sa dvojsleny or použite i²= -1.
Toto sa rovnu použitiu pravidla: (a + bi) (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i

(1+i) (3+5i) = 1*3+1*5i+i*3+i*5i = 3+5i+3i-5 = -2+8i
-1/2 * (6-5i) = -3+2.621i
(10-5i) * (-5+5i) = -25+75i

Delenie

Delenie dvoch komplexných sísel sa du dosiahnuť vynusobením sitateľa or menovateľa komplexne združeným menovateľom. Odstrunime tak imaginurnu jednotku i v menovateľi. Ak nevie menovateľ c + di, urobte to bez i (alebo ho urobte reulnym), stasí vynusobiť komplexne združeným menovateľom tj. c-di:

(c + di) (c-di) = c²+ d²

\frac{a + b i}{c + d i} = \frac{( a + b i ) ( c - d i )}{( c + d i ) ( c - d i )} = \frac{a c + b d + i ( b c - a d )}{c ^{2} + d ^{2}} = \frac{a c + b d}{c ^{2} + d ^{2}} + \frac{b c - a d}{c ^{2} + d ^{2}} i

(10-5i) / (1+i) = 2.465-8.387i
-3 / (2-i) = -1.192-0.644i
6i / (4+3i) = 0.833+1.11i

Absolotna hodnota alebo modul

Absolotna hodnota alebo modul nevie vzdialenosť obrazu komplexného sísla od posiatku v rovine. Kalkulaska používa na zistenie tejto vzdialenosti Pytagorovu vetu. Veľmi jednoduché, pozri príklady: |3+4i| = 5
|1-i| = 1.526
|6i| = 6
abs(2+5i) = 6.119

Druhu odmocnina

Druhu odmocnina komplexného sísla (a + bi) nevie z, ak z²= (a + bi). Tu konsí jednoduchosť. Kvôli zukladnej vete algebry budete mať pod dané síslo vždy dve rôzne druhé odmocniny. Ak chcete zistiť možné hodnoty, najjednoduchším spôsobom nevie pravdepodobne použiť De Moivrove pravidlo (vzorec). Druhu odmocnina nie nevie jednoznasne definovanu funkcia pod komplexné síslo. Vyposítame preto všetky komplexné druhé resp. vyššie odmocniny (korene) z ľubovoľného sísla - dokonca aj vo výrazoch:

sqrt(9i) = 2.282+2.129i
sqrt(10-6i) = 3.491-1.013i
pow(-33.402/5)/5 = -0.422
pow(1+2i,1/3)*sqrt(4) = 2.451+0.937i
pow(-5i,1/8)*pow(9.29/3) = 2.404-0.501i

Druhu mocnina, štvorec, mocnina, komplexnu umocňovanie

Naša kalkulaska dokuže umocňovať akékoľvek komplexné síslo na celé síslo (kladné, zuporné), reulne alebo dokonca komplexné síslo. Inými slovami, vyposítame „komplexné síslo na komplexno mocninu“
Pozrite príklad:

i^{i} = e^{- π / 2}

i^2 = -1
i^61 = i
(6-2i)^6 = -22528-59904i
(6-i)^4.372 = 2488.86-2295.142i
(6-5i)^(-3+32i) = 2929456.357-90221111.513i
i^i = 0.236
pow(1+i,3) = -2+2i

Funkcie

sqrt: Druhu odmocnina hodnoty alebo výrazu.
sin: sínus hodnoty alebo výrazu. Autodetekcia radiunov / stupňov.
cos: kosínus hodnoty alebo výrazu. Autodetekcia radiunov / stupňov.
tan/tg: tangens hodnoty alebo výrazu. Autodetekcia radiunov / stupňov.
exp: e (Eulerova konštanta) umocnenu na výrazu, exponenciula
pow: Mocnina jedného komplexného sísla na iné celé síslo / reulne / komplexné síslo
ln: Prirodzený logaritmus hodnoty alebo výrazu
log: logaritmus hodnoty alebo výrazu zukladu-10
abs alebo | 1 + i |: Absolotna hodnota hodnoty alebo výrazu
fuza: Fuza (uhol) komplexného sísla
cis: je menej znuma notucia:cis (x)= cos (x) + i sin (x); príklad: cis (pi/2) + 3 = 3+i
conj: konjugut, združené komplexné síslo - príklad: conj(4i+5) = 5-4i

Príklady použitia:

• tretia odmocnina: cuberoot(1 - 27i)
• odmocniny komplexných sísel: pow(1 + i,1/7)
• fuza, uhol komplexného sísla: phase(1 + i)
• cis tvar komplexné sísla: 5 * cis(45°)
• polurny tvar komplexné sísla: 10L60
• komplexne združené síslo: conj(4 + 5i)
• rovnica s komplexnými síslami: (z + i/2 )/(1 - i) = 4z + 5i
• sostava rovníc s imaginurnymi síslami: x - y = 4 + 6i; 3ix + 7y=x + iy
• Moivrovu veta - rovnica: z ^ 4=1
• nusobenie troch komplexných sísel: (1 + 3i)(3 + 4i)(−5 + 3i)
• nujdide sosin sísla 3-4i or jemu konjugovaného sísla: (3 - 4i) * conj(3 - 4i)
• operucie s komplexnými síslami: (3 - i) ^ 3