Komplexné čísla kalkulačka


   



Existuje 6 riešení, v dôsledku “Základnej vety algebry“. Váš výraz obsahuje druhé (a vyššie) odmocniny z komplexného čísla resp. umocnenia na 1/n.

z1 = ((1 + 2i)^(1/3))*sqrt(4) = 2,439233+0,9434225i = 2,615321 × ei 0,3690496 = 2,615321 × ei 0,1174721 π Kroky výpočtu hlavný koreň

  1. Komplexné číslo: 1+2i
  2. Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
  3. Tretia odmocnina: ∛(výsledok kroku č. 1) = ∛(1+2i) = 1,2196165+0,4717113i
  4. Druhá odmocnina: sqrt(4) = 4 = 2
  5. Násobenie: výsledok kroku č. 3 * výsledok kroku č. 4 = (1,2196165+0,4717113i) * 2 = 2,439233+0,9434225i
Výsledok z1
Algebraický tvar:
z = 2,439233+0,9434225i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,615321 ∠ 21°8'42″

Goniometrický tvar:
z = 2,615321 × (cos 21°8'42″ + i sin 21°8'42″)

Exponenciálny tvar:
z = 2,615321 × ei 0,3690496 = 2,615321 × ei 0,1174721 π

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,615321 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = 0,3690496 rad = 21,14498° = 21°8'42″ = 0,1174721π rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 2,439233+0,9434225i
Reálna časť: x = Re z = 2,439
Imaginárna časť: y = Im z = 0,94342254

z2 = ((1 + 2i)^(1/3))*sqrt(4) = -2,0366444+1,6407265i = 2,615321 × ei 2,4634447 = 2,615321 × ei 0,7841388 π Kroky výpočtu

  1. Komplexné číslo: 1+2i
  2. Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
  3. Tretia odmocnina: ∛(výsledok kroku č. 1) = ∛(1+2i) = -1,0183222+0,8203632i
  4. Druhá odmocnina: sqrt(4) = 4 = 2
  5. Násobenie: výsledok kroku č. 3 * výsledok kroku č. 4 = (-1,0183222+0,8203632i) * 2 = -2,0366444+1,6407265i
Výsledok z2
Algebraický tvar:
z = -2,0366444+1,6407265i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,615321 ∠ 141°8'42″

Goniometrický tvar:
z = 2,615321 × (cos 141°8'42″ + i sin 141°8'42″)

Exponenciálny tvar:
z = 2,615321 × ei 2,4634447 = 2,615321 × ei 0,7841388 π

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,615321 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = 2,4634447 rad = 141,14498° = 141°8'42″ = 0,7841388π rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = -2,0366444+1,6407265i
Reálna časť: x = Re z = -2,037
Imaginárna časť: y = Im z = 1,6407265

z3 = ((1 + 2i)^(1/3))*sqrt(4) = -0,4025886-2,584149i = 2,615321 × ei -1,7253455 = 2,615321 × ei (-0,5491945) π Kroky výpočtu

  1. Komplexné číslo: 1+2i
  2. Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
  3. Tretia odmocnina: ∛(výsledok kroku č. 1) = ∛(1+2i) = -0,2012943-1,2920745i
  4. Druhá odmocnina: sqrt(4) = 4 = 2
  5. Násobenie: výsledok kroku č. 3 * výsledok kroku č. 4 = (-0,2012943-1,2920745i) * 2 = -0,4025886-2,584149i
Výsledok z3
Algebraický tvar:
z = -0,4025886-2,584149i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,615321 ∠ -98°51'18″

Goniometrický tvar:
z = 2,615321 × (cos (-98°51'18″) + i sin (-98°51'18″))

Exponenciálny tvar:
z = 2,615321 × ei -1,7253455 = 2,615321 × ei (-0,5491945) π

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,615321 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = -1,7253455 rad = -98,85502° = -98°51'18″ = -0,5491945π rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = -0,4025886-2,584149i
Reálna časť: x = Re z = -0,403
Imaginárna časť: y = Im z = -2,58414903

z4 = ((1 + 2i)^(1/3))*sqrt(4) = -2,439233-0,9434225i = 2,615321 × ei -2,7725431 = 2,615321 × ei (-0,8825279) π Kroky výpočtu

  1. Komplexné číslo: 1+2i
  2. Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
  3. Tretia odmocnina: ∛(výsledok kroku č. 1) = ∛(1+2i) = 1,2196165+0,4717113i
  4. Druhá odmocnina: sqrt(4) = 4 = -2
  5. Násobenie: výsledok kroku č. 3 * výsledok kroku č. 4 = (1,2196165+0,4717113i) * (-2) = -2,439233-0,9434225i
Výsledok z4
Algebraický tvar:
z = -2,439233-0,9434225i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,615321 ∠ -158°51'18″

Goniometrický tvar:
z = 2,615321 × (cos (-158°51'18″) + i sin (-158°51'18″))

Exponenciálny tvar:
z = 2,615321 × ei -2,7725431 = 2,615321 × ei (-0,8825279) π

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,615321 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = -2,7725431 rad = -158,85502° = -158°51'18″ = -0,8825279π rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = -2,439233-0,9434225i
Reálna časť: x = Re z = -2,439
Imaginárna časť: y = Im z = -0,94342254

z5 = ((1 + 2i)^(1/3))*sqrt(4) = 2,0366444-1,6407265i = 2,615321 × ei -0,678148 = 2,615321 × ei (-0,2158612) π Kroky výpočtu

  1. Komplexné číslo: 1+2i
  2. Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
  3. Tretia odmocnina: ∛(výsledok kroku č. 1) = ∛(1+2i) = -1,0183222+0,8203632i
  4. Druhá odmocnina: sqrt(4) = 4 = -2
  5. Násobenie: výsledok kroku č. 3 * výsledok kroku č. 4 = (-1,0183222+0,8203632i) * (-2) = 2,0366444-1,6407265i
Výsledok z5
Algebraický tvar:
z = 2,0366444-1,6407265i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,615321 ∠ -38°51'18″

Goniometrický tvar:
z = 2,615321 × (cos (-38°51'18″) + i sin (-38°51'18″))

Exponenciálny tvar:
z = 2,615321 × ei -0,678148 = 2,615321 × ei (-0,2158612) π

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,615321 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = -0,678148 rad = -38,85502° = -38°51'18″ = -0,2158612π rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 2,0366444-1,6407265i
Reálna časť: x = Re z = 2,037
Imaginárna časť: y = Im z = -1,6407265

z6 = ((1 + 2i)^(1/3))*sqrt(4) = 0,4025886+2,584149i = 2,615321 × ei 1,4162471 = 2,615321 × ei 0,4508055 π Kroky výpočtu

  1. Komplexné číslo: 1+2i
  2. Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
  3. Tretia odmocnina: ∛(výsledok kroku č. 1) = ∛(1+2i) = -0,2012943-1,2920745i
  4. Druhá odmocnina: sqrt(4) = 4 = -2
  5. Násobenie: výsledok kroku č. 3 * výsledok kroku č. 4 = (-0,2012943-1,2920745i) * (-2) = 0,4025886+2,584149i
Výsledok z6
Algebraický tvar:
z = 0,4025886+2,584149i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,615321 ∠ 81°8'42″

Goniometrický tvar:
z = 2,615321 × (cos 81°8'42″ + i sin 81°8'42″)

Exponenciálny tvar:
z = 2,615321 × ei 1,4162471 = 2,615321 × ei 0,4508055 π

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,615321 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = 1,4162471 rad = 81,14498° = 81°8'42″ = 0,4508055π rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 0,4025886+2,584149i
Reálna časť: x = Re z = 0,403
Imaginárna časť: y = Im z = 2,58414903
Táto kalkulačka poskytuje služby výpočtu a vyhodnotenia výrazov v množine komplexných čísel. Imaginárna jednotka je označená ako i alebo j (najmä v elektrotechnike); spĺňa rovnicu i2 = -1 alebo j2 = -1 . Kalkulačka má tiež konverziu komplexného čísla do goniometrického, exponenciálneho tvaru alebo do polárnych súradnic. Zadajte výraz s komplexnými číslami, ako napríklad 5*(1+i)(-2-5i)^2

Komplexné čísla vo verzorovom tvare (polárne súradnice r,θ) zadávajte v tvare rLθ napr. 5L65, čo je to isté ako 5*cis(65°).
Príklad násobenia dvoch čísel vo verzorovom tvare: 10L45 * 3L90.

Pre použitie v školstve napr. výpočtoch striedavých prúdov na strednej odbornej škole potrebujete rýchlu a jasnú komplexnú kalkulačku.




Základné operácie s komplexnými číslami

Dúfame, že práca s komplexným číslom je celkom ľahká, pretože môžete pracovať s imaginárnou jednotkou i ako s premennou. A použite definíciu i2= -1na zjednodušenie zložitých výrazov. Mnoho operácií je rovnakých ako operácie s dvojrozmernými vektormi.

Sčítanie

Veľmi jednoduché, sčítajte reálne časti (bez i) a imaginárne časti (tie s i):
Toto sa rovná použitiu pravidla: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(1+i) + (6-5i) = 7-4i
12 + 6-5i = 18-5i
(10-5i) + (-5+5i) = 5

Odčítanie

Opäť veľmi jednoduché, odčítajte reálne časti a odčítajte imaginárne časti (tie s i):
Toto sa rovná použitiu pravidla: (a + bi) + (c + di) = (a-c) + (b-d)i

(1+i) - (3-5i) = -2+6i
-1/2 - (6-5i) = -6.5+5i
(10-5i) - (-5+5i) = 15-10i

Násobenie

Ak chcete vynásobiť dve komplexné čísla, použite distribučné pravidlo, zlúčte sa dvojčleny a použite i2= -1.
Toto sa rovná použitiu pravidla: (a + bi) (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i

(1+i) (3+5i) = 1*3+1*5i+i*3+i*5i = 3+5i+3i-5 = -2+8i
-1/2 * (6-5i) = -3+2.5i
(10-5i) * (-5+5i) = -25+75i

Delenie

Delenie dvoch komplexných čísel sa dá dosiahnuť vynásobením čitateľa a menovateľa komplexne združeným menovateľom. Odstránime tak imaginárnu jednotku i v menovateľi. Ak je menovateľ c + di, urobte to bez i (alebo ho urobte reálnym), stačí vynásobiť komplexne združeným menovateľom tj. c-di:

(c + di) (c-di) = c2+ d2

a+bic+di=(a+bi)(cdi)(c+di)(cdi)=ac+bd+i(bcad)c2+d2=ac+bdc2+d2+bcadc2+d2i

(10-5i) / (1+i) = 2.5-7.5i
-3 / (2-i) = -1.2-0.6i
6i / (4+3i) = 0.72+0.96i

Absolútna hodnota alebo modul

Absolútna hodnota alebo modul je vzdialenosť obrazu komplexného čísla od počiatku v rovine. Kalkulačka používa na zistenie tejto vzdialenosti Pytagorovu vetu. Veľmi jednoduché, pozri príklady: |3+4i| = 5
|1-i| = 1.4142136
|6i| = 6
abs(2+5i) = 5.3851648

Druhá odmocnina

Druhá odmocnina komplexného čísla (a + bi) je z, ak z2= (a + bi). Tu končí jednoduchosť. Kvôli základnej vete algebry budete mať pre dané číslo vždy dve rôzne druhé odmocniny. Ak chcete zistiť možné hodnoty, najjednoduchším spôsobom je pravdepodobne použiť De Moivrove pravidlo (vzorec). Druhá odmocnina nie je jednoznačne definovaná funkcia pre komplexné číslo. Vypočítame preto všetky komplexné druhé resp. vyššie odmocniny (korene) z ľubovoľného čísla - dokonca aj vo výrazoch:

sqrt(9i) = 2.1213203+2.1213203i
sqrt(10-6i) = 3.2910412-0.9115656i
pow(-32,1/5)/5 = -0.4
pow(1+2i,1/3)*sqrt(4) = 2.439233+0.9434225i
pow(-5i,1/8)*pow(8,1/3) = 2.3986959-0.4771303i

Druhá mocnina, štvorec, mocnina, komplexná umocňovanie

Naša kalkulačka dokáže umocňovať akékoľvek komplexné číslo na celé číslo (kladné, záporné), reálne alebo dokonca komplexné číslo. Inými slovami, vypočítame „komplexné číslo na komplexnú mocninu“
Pozrite príklad:
ii=eπ/2
i^2 = -1
i^61 = i
(6-2i)^6 = -22528-59904i
(6-i)^4.5 = 2486.1377428-2284.5557378i
(6-5i)^(-3+32i) = 2929449.0399425-9022199.5826224i
i^i = 0.2078795764
pow(1+i,3) = -2+2i

Funkcie

sqrt
Druhá odmocnina hodnoty alebo výrazu.
sin
sínus hodnoty alebo výrazu. Autodetekcia radiánov / stupňov.
cos
kosínus hodnoty alebo výrazu. Autodetekcia radiánov / stupňov.
tan/tg
tangens hodnoty alebo výrazu. Autodetekcia radiánov / stupňov.
exp
e (Eulerova konštanta) umocnená na výrazu, exponenciála
pow
Mocnina jedného komplexného čísla na iné celé číslo / reálne / komplexné číslo
ln
Prirodzený logaritmus hodnoty alebo výrazu
log
logaritmus hodnoty alebo výrazu základu-10
abs alebo | 1 + i |
Absolútna hodnota hodnoty alebo výrazu
fáza
Fáza (uhol) komplexného čísla
cis
je menej známa notácia:cis (x)= cos (x) + i sin (x); príklad: cis (pi/2) + 3 = 3+i
conj
konjugát, združené komplexné číslo - príklad: conj(4i+5) = 5-4i


Príklady použitia:

tretia odmocnina: cuberoot(1-27i)
odmocniny komplexných čísel: pow(1+i,1/7)
fáza, uhol komplexného čísla: phase(1+i)
cis tvar komplexné čísla: 5*cis(45°)
polárny tvar komplexné čísla: 10L60
komplexne združené číslo: conj(4+5i)
rovnica s komplexnými číslami: (z+i/2 )/(1-i) = 4z+5i
sústava rovníc s imaginárnymi číslami: x-y = 4+6i; 3ix+7y=x+iy
Moivrová veta - rovnica: z^4=1
násobenie troch komplexných čísel: (1+3i)(3+4i)(−5+3i)
nájdide súčin čísla 3-4i a jemu konjugovaného čísla: (3-4i)*conj(3-4i)
operácie s komplexnými číslami: (3-i)^3

Komplexné čísla v slovných úlohách:



slovné úlohy - viacej »