Permutace bez opakování

Kalkulačka vypočítá kolika různými způsoby se dá vybrat k prvků z množiny n prvků. S/bez uvažování poradí, s/bez opakování. Vypočítá počet variací, permutací, kombinací, variací s opakováním a kombinací s opakováním.

(n)
(k)

Výpočet:

P(n)=n!  n=11 P(11)=11!=39916800

Počet permutací: 39916800

39916800


Trošku teorie - základy kombinatoriky

Variace

Variace k-té třídy z n prvků je uspořádána k-prvková skupina vytvořená z množiny n prvků. Prvky se neopakují a záleží na pořadí prvků ve skupině (proto uspořádána).
Počet variací vypočítáme snadno použitím kombinatorického pravidla součinu. Pokud máme například množinu n = 5 čísel 1,2,3,4,5 a máme udělat variace třetí třídy, bude jejich V3 (5) = 5 * 4 * 3 = 60.
Vk(n)=n(n1)(n2)...(nk+1)=n!(nk)!
n! voláme faktoriál čísla n a je to součin prvních n přirozených čísel. Zápis s faktoriálu je jen přehlednější, ekvivalentní, pro výpočty je plně dostačující používat postup vyplývající z kombinatorického pravidla součinu.

Permutace

Permutace je synonymický název pro variaci n-té třídy z n-prvků. Je to tedy každá n-prvková uspořádána skupina vytvořená z n-prvků. Prvky se neopakují a záleží na pořadí prvků ve skupině.
P(n)=n(n1)(n2)...1=n!
Typický příklad je: Máme 4 knihy a kolika způsoby jejich můžeme uspořádat vedle sebe v poličce?

Variace s opakováním

Variace k-té třídy z n prvků je uspořádána k-prvková skupina vytvořených z množiny n prvků, přičemž prvky se mohou opakovat a záleží na jejich pořadí. Typickým příkladem je tvoření čísel z číslic 2,3,4,5 a zjištění jejich počtu. Jejich počet podle kombinatorického pravidla součinu vypočítáme:
Vk(n)=nnnn...n=nk

Permutace s opakováním

Permutace s opakováním je uspořádána k-prvková skupina z n-prvků, přičemž některé prvky se opakují ve skupině. Opakování některých (nebo všech ve skupině) snižuje počet takových permutací s opakováním.
Pk1k2k3...km(n)=n!k1!k2!k3!...km!
Typický příklad je zjistit kolik je sedmimístných čísel vytvořených z číslic 2,2,2, 6,6,6,6.

Kombinace

Kombinace k-té třídy z n prvků je neuspořádaná k-prvková skupina vytvořená z množiny n prvků. Prvky se neopakují a nezáleží na pořadí prvků ve skupině. Neuspořádané skupiny se v matematice volají množiny resp. podmnožiny. Jejich počet je kombinační číslo a vypočte se takto:
Ck(n)=(nk)=n!k!(nk)!
Typický příklad na kombinace je že máme 15 žáků a máme vybrat trojice. Kolik jich bude?

Kombinace s opakováním

Zde vybíráme k prvkové skupiny z n prvků, přičemž nezáleží na pořadí a prvky se mohou opakovat. k je logicky větší než n (jinak bychom dostali kombinace obyčejné). Jejich počet je:
Ck(n)=(n+k1k)=(n+k1)!k!(n1)!
Vysvětlení vzorce - počet kombinaci s opakováním se rovná počtu umístění n-1 oddělovačů na n-1 + k míst. Typický příklad je: jdeme si do obchodu koupit 6 čokolád. V nabídce mají jen 3 druhy. Kolik máme možností? k = 6, n = 3 ..

Základy kombinatoriky v slovních úlohách

  • Určete 8
    Určete pravděpodobnost, že z osudí, ve kterém je 10 bílých, 10 červených a 10 modrých kuliček, budou vytaženy 3 kuličky téže barvy.
  • Úkol roku
    Stanovte počet přirozených čísel od 1 do 106, které končí čtyřčíslí 2019.
  • Zmetky
    Ze 15 výrobků jsou 4 zmetky. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném odebírání 2 výrobků nevybereme žádný vadný výrobek.
  • Pravděpodobnost - losy
    Jaká je pravděpodobnost že když máš 25 losů z 5000 že nevyhraješ hlavní cenu?
  • Kostky
    Budeme házet dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že poměr čísel na jedné a na druhé kostce bude 1:2?
  • Šachy
    Kolika možnými způsoby se dá zahájit šachová partie (první tah)?
  • PIN - kódy
    Kolik pětimístných PIN - kódů můžeme vytvořit s použitím sudých číslic?
  • Oddíl
    Oddíl má 18 členů: 10 dívek 6 chlapců a 2 vedoucí. Kolik různých hlídek je možno vytvořit, aby v hlídce byli 2 chlapci, 3 dívky a 1 vedoucí?
  • Tombola výhra
    V tombole prodali 200 lístků, z toho 5 bylo výherních. Jaká je pravděpodobnost, že Kubo, který si koupil 1 lístek, vyhraje?
  • Hod kostkou
    Vypočítejte pravděpodobnost při hodu jednou hrací kostkou, která má na stěnách čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Zapište výsledky do sešitu ve tvaru zlomku v základním tvaru takto: 2/3. a, Na kostce padne číslo 1. b, Na kostce padne číslo 5. c, Na kostce padne sud
  • Skupiny
    Třída se skládá z 11 mužů a 9 žen. Kolik skupin po 7 je možné zostavit, že skupina se musí skládat ze 4 mužů a 3 žen?
  • Fotbalová liga
    Ve fotbalové lize je 16 týmů. Kolik různých pořadí muze vzniknout na konci soutěže?
  • Sad
    V sadě roste 5 řad po 7 stromů. Kolik je v sadě stromů?
  • Hodíme 3
    Hodíme dvěma kostkami, červenou a zelenou jaká je pravděpodobnost že padne na červené kostce větší číslo než na zelené?
  • Tombola
    V osudí jsou čísla od 1 do 115. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybrané číslo nebude prvočíslo?
  • Body v rovině
    V rovině je dáno 12 bodů, z nichž 5 leží na jedné přímce. Kolik různých přímek určují dané body?


slovní úlohy - více »