Horkovzdušný balon

Horkovzdušný balon vystoupá 25 metrů vysoko za minutu po startu. Každou další minutu vystoupá 75 procent výšky, kterou vystoupal za předchozí minutu.
a) kolik metrů vystoupá za šestou minutu po startu
b) jaká bude jeho celková výška 10 minut po startu
c) jak dlouho potrvá balonu, než bude více než 110 metrů vysoko
d) jaká bude konečná výška balonu

Správná odpověď:

a =  5,93 m
b =  94,37 m
t =  NAN min
d =  100 m

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} q=75/100=0,75 \\ \Delta s(t)=25\cdot 0,75^{t-1} \\ a=\Delta s(6)=25\cdot 0,75^{6-1}=5,93\text{m} \end{gathered}$$

$b=s_6=a_1\frac{q^6-1}{q-1}=25\cdot \frac{0,75^6-1}{0,75-1}=94,37\text{m}$

$$\begin{gathered} s_t=25\frac{q^t-1}{q-1}=110 \\ {q}^t-1=110(q-1)/25 \\ {q}^t=110(q-1)/25+1 \\ t\log q=\log (110\cdot (q-1)/25+1) \\ t=NAN\text{min} \end{gathered}$$

$d=s_{\inf }=\frac{a_1}{1-q}=\frac{25}{1-0,75}=100\text{m}$

Zkusit jiný příklad