Teplovzdušný balón

Teplovzdušný balón vystúpi 25 metrov vysoko za minútu po štarte. Každú ďalšiu minútu vystúpi 75 percent výšky, ktorú vystúpal za predchádzajúci minútu.
a) koľko metrov vystúpi za šiestu minútu po štarte
b) aká bude jeho celková výška 10 minút po štarte
c) ako dlho potrvá balónu, než bude viac ako 110 metrov vysoko
d) aká bude konečná výška balóne

Správna odpoveď:

a =  5,93 m
b =  94,37 m
t =  NAN min
d =  100 m

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} q=75/100=0,75 \\ \Delta s(t)=25\cdot 0,75^{t-1} \\ a=\Delta s(6)=25\cdot 0,75^{6-1}=5,93\text{m} \end{gathered}$$

$b=s_6=a_1\frac{q^6-1}{q-1}=25\cdot \frac{0,75^6-1}{0,75-1}=94,37\text{m}$

$$\begin{gathered} s_t=25\frac{q^t-1}{q-1}=110 \\ {q}^t-1=110(q-1)/25 \\ {q}^t=110(q-1)/25+1 \\ t\log q=\log (110\cdot (q-1)/25+1) \\ t=NAN\text{min} \end{gathered}$$

$d=s_{\inf }=\frac{a_1}{1-q}=\frac{25}{1-0,75}=100\text{m}$

Skúsiť iný príklad