Za čtvrtletí

Předpokládejme, že jste investovali 1 000 dolárů za čtvrtletí po dobu 15 let. Pokud peníze vydělají čtvrtletně anulovanou sazbu 6,5%, kolik by bylo k dispozici na konci časového období? Kolik vydělávají úroky?

Správná odpověď:

f =  100336,68 USD
i =  40336,68 USD

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} r=4 \\ a=1000 \\ p=6,5\%=\frac{6,5}{100}=0,065 \\ n=15\cdot r=15\cdot 4=60 \\ q=p/r=0,065/4=\frac{13}{800}\doteq 0,0163 \\ k=1+q=1+0,0163=\frac{813}{800}\doteq 1,0163 \\ {f}_1=a=1000 \\ {f}_2=[k\cdot f_1+a]=[1,0163\cdot 1000+1000]=\frac{8065}{4}=2016,25 \\ {f}_3=[k\cdot f_2+a]=[1,0163\cdot 2016,25+1000]=3049,01 \\ {f}_4=[k\cdot f_3+a]=[1,0163\cdot 3049,01+1000]=4098,56 \\ {f}_5=[k\cdot f_4+a]=[1,0163\cdot 4098,56+1000]=5165,16 \\ {f}_6=[k\cdot f_5+a]=[1,0163\cdot 5165,16+1000]=6249,09 \\ {f}_7=[k\cdot f_6+a]=[1,0163\cdot 6249,09+1000]=7350,64 \\ {f}_8=[k\cdot f_7+a]=[1,0163\cdot 7350,64+1000]=8470,09 \\ {f}_9=[k\cdot f_8+a]=[1,0163\cdot 8470,09+1000]=9607,73 \\ {f}_{10}=[k\cdot f_9+a]=[1,0163\cdot 9607,73+1000]=10763,86 \\ {f}_{11}=[k\cdot f_{10}+a]=[1,0163\cdot 10763,86+1000]=11938,77 \\ {f}_{12}=[k\cdot f_{11}+a]=[1,0163\cdot 11938,77+1000]=13132,78 \\ {f}_{13}=[k\cdot f_{12}+a]=[1,0163\cdot 13132,78+1000]=14346,19 \\ {f}_{14}=[k\cdot f_{13}+a]=[1,0163\cdot 14346,19+1000]=15579,32 \\ {f}_{15}=[k\cdot f_{14}+a]=[1,0163\cdot 15579,32+1000]=16832,48 \\ {f}_{16}=[k\cdot f_{15}+a]=[1,0163\cdot 16832,48+1000]=18106,01 \\ {f}_{17}=[k\cdot f_{16}+a]=[1,0163\cdot 18106,01+1000]=19400,23 \\ {f}_{18}=[k\cdot f_{17}+a]=[1,0163\cdot 19400,23+1000]=20715,48 \\ {f}_{19}=[k\cdot f_{18}+a]=[1,0163\cdot 20715,48+1000]=22052,11 \\ {f}_{20}=[k\cdot f_{19}+a]=[1,0163\cdot 22052,11+1000]=23410,46 \\ {f}_{21}=[k\cdot f_{20}+a]=[1,0163\cdot 23410,46+1000]=24790,88 \\ {f}_{22}=[k\cdot f_{21}+a]=[1,0163\cdot 24790,88+1000]=26193,73 \\ {f}_{23}=[k\cdot f_{22}+a]=[1,0163\cdot 26193,73+1000]=27619,38 \\ {f}_{24}=[k\cdot f_{23}+a]=[1,0163\cdot 27619,38+1000]=29068,19 \\ {f}_{25}=[k\cdot f_{24}+a]=[1,0163\cdot 29068,19+1000]=30540,55 \\ {f}_{26}=[k\cdot f_{25}+a]=[1,0163\cdot 30540,55+1000]=32036,83 \\ {f}_{27}=[k\cdot f_{26}+a]=[1,0163\cdot 32036,83+1000]=33557,43 \\ {f}_{28}=[k\cdot f_{27}+a]=[1,0163\cdot 33557,43+1000]=35102,74 \\ {f}_{29}=[k\cdot f_{28}+a]=[1,0163\cdot 35102,74+1000]=36673,16 \\ {f}_{30}=[k\cdot f_{29}+a]=[1,0163\cdot 36673,16+1000]=38269,1 \\ {f}_{31}=[k\cdot f_{30}+a]=[1,0163\cdot 38269,1+1000]=39890,97 \\ {f}_{32}=[k\cdot f_{31}+a]=[1,0163\cdot 39890,97+1000]=\frac{207696}{5}=41539,2 \\ {f}_{33}=[k\cdot f_{32}+a]=[1,0163\cdot 41539,2+1000]=43214,21 \\ {f}_{34}=[k\cdot f_{33}+a]=[1,0163\cdot 43214,21+1000]=44916,44 \\ {f}_{35}=[k\cdot f_{34}+a]=[1,0163\cdot 44916,44+1000]=46646,33 \\ {f}_{36}=[k\cdot f_{35}+a]=[1,0163\cdot 46646,33+1000]=48404,33 \\ {f}_{37}=[k\cdot f_{36}+a]=[1,0163\cdot 48404,33+1000]=50190,9 \\ {f}_{38}=[k\cdot f_{37}+a]=[1,0163\cdot 50190,9+1000]=\frac{104013}{2}=52006,5 \\ {f}_{39}=[k\cdot f_{38}+a]=[1,0163\cdot 52006,5+1000]=53851,61 \\ {f}_{40}=[k\cdot f_{39}+a]=[1,0163\cdot 53851,61+1000]=55726,7 \\ {f}_{41}=[k\cdot f_{40}+a]=[1,0163\cdot 55726,7+1000]=57632,26 \\ {f}_{42}=[k\cdot f_{41}+a]=[1,0163\cdot 57632,26+1000]=59568,78 \\ {f}_{43}=[k\cdot f_{42}+a]=[1,0163\cdot 59568,78+1000]=61536,77 \\ {f}_{44}=[k\cdot f_{43}+a]=[1,0163\cdot 61536,77+1000]=63536,74 \\ {f}_{45}=[k\cdot f_{44}+a]=[1,0163\cdot 63536,74+1000]=65569,21 \\ {f}_{46}=[k\cdot f_{45}+a]=[1,0163\cdot 65569,21+1000]=67634,71 \\ {f}_{47}=[k\cdot f_{46}+a]=[1,0163\cdot 67634,71+1000]=69733,77 \\ {f}_{48}=[k\cdot f_{47}+a]=[1,0163\cdot 69733,77+1000]=71866,94 \\ {f}_{49}=[k\cdot f_{48}+a]=[1,0163\cdot 71866,94+1000]=74034,78 \\ {f}_{50}=[k\cdot f_{49}+a]=[1,0163\cdot 74034,78+1000]=76237,85 \\ {f}_{51}=[k\cdot f_{50}+a]=[1,0163\cdot 76237,85+1000]=78476,72 \\ {f}_{52}=[k\cdot f_{51}+a]=[1,0163\cdot 78476,72+1000]=80751,97 \\ {f}_{53}=[k\cdot f_{52}+a]=[1,0163\cdot 80751,97+1000]=83064,19 \\ {f}_{54}=[k\cdot f_{53}+a]=[1,0163\cdot 83064,19+1000]=85413,98 \\ {f}_{55}=[k\cdot f_{54}+a]=[1,0163\cdot 85413,98+1000]=87801,96 \\ {f}_{56}=[k\cdot f_{55}+a]=[1,0163\cdot 87801,96+1000]=90228,74 \\ {f}_{57}=[k\cdot f_{56}+a]=[1,0163\cdot 90228,74+1000]=92694,96 \\ {f}_{58}=[k\cdot f_{57}+a]=[1,0163\cdot 92694,96+1000]=\frac{380805}{4}=95201,25 \\ {f}_{59}=[k\cdot f_{58}+a]=[1,0163\cdot 95201,25+1000]=97748,27 \\ {f}_{60}=[k\cdot f_{59}+a]=[1,0163\cdot 97748,27+1000]=100336,68 \\ f=f_{60}=100336,68=100336,68\text{USD}\doteq 1,0\cdot 10^5\text{USD} \end{gathered}$$

$i=f-n\cdot a=100336,68-60\cdot 1000=40336,68\text{USD}$

Zkusit jiný příklad