Variace bez opakování n=3, k=34 výsledek
Kalkulačka vypočítá počet variací k-té střídy z n prvků. Variace k-té třídy z n prvkové množiny M, je každá uspořádaná k-prvková skupina sestavená pouze z těchto n prvků tak, že každý se v ní nachází nejvýše jednou.Výpočet:
Vk(n)=(n−k)!n! n=3 k=34 V34(3)=(3−34)!3!=−31!3!=35904
počet variací: 35904
Trošku teorie - základy kombinatoriky
Variace
Variace k-té třídy z n prvků je uspořádána k-prvková skupina vytvořená z množiny n prvků. Prvky se neopakují a záleží na pořadí prvků ve skupině (proto uspořádána).Počet variací vypočítáme snadno použitím kombinatorického pravidla součinu. Pokud máme například množinu n = 5 čísel 1,2,3,4,5 a máme udělat variace třetí třídy, bude jejich V3 (5) = 5 * 4 * 3 = 60.
Vk(n)=n(n−1)(n−2)...(n−k+1)=(n−k)!n!
n! voláme faktoriál čísla n a je to součin prvních n přirozených čísel. Zápis s faktoriálu je jen přehlednější, ekvivalentní, pro výpočty je plně dostačující používat postup vyplývající z kombinatorického pravidla součinu.
Permutace
Permutace je synonymický název pro variaci n-té třídy z n-prvků. Je to tedy každá n-prvková uspořádána skupina vytvořená z n-prvků. Prvky se neopakují a záleží na pořadí prvků ve skupině.P(n)=n(n−1)(n−2)...1=n!
Typický příklad je: Máme 4 knihy a kolika způsoby jejich můžeme uspořádat vedle sebe v poličce?
Variace s opakováním
Variace k-té třídy z n prvků je uspořádána k-prvková skupina vytvořených z množiny n prvků, přičemž prvky se mohou opakovat a záleží na jejich pořadí. Typickým příkladem je tvoření čísel z číslic 2,3,4,5 a zjištění jejich počtu. Jejich počet podle kombinatorického pravidla součinu vypočítáme:Vk′(n)=n⋅n⋅n⋅n...n=nk
Permutace s opakováním
Permutace s opakováním je uspořádána k-prvková skupina z n-prvků, přičemž některé prvky se opakují ve skupině. Opakování některých (nebo všech ve skupině) snižuje počet takových permutací s opakováním.Pk1k2k3...km′(n)=k1!k2!k3!...km!n!
Typický příklad je zjistit kolik je sedmimístných čísel vytvořených z číslic 2,2,2, 6,6,6,6.
Kombinace
Kombinace k-té třídy z n prvků je neuspořádaná k-prvková skupina vytvořená z množiny n prvků. Prvky se neopakují a nezáleží na pořadí prvků ve skupině. Neuspořádané skupiny se v matematice volají množiny resp. podmnožiny. Jejich počet je kombinační číslo a vypočte se takto:Ck(n)=(kn)=k!(n−k)!n!
Typický příklad na kombinace je že máme 15 žáků a máme vybrat trojice. Kolik jich bude?
Kombinace s opakováním
Zde vybíráme k prvkové skupiny z n prvků, přičemž nezáleží na pořadí a prvky se mohou opakovat. k je logicky větší než n (jinak bychom dostali kombinace obyčejné). Jejich počet je:Ck′(n)=(kn+k−1)=k!(n−1)!(n+k−1)!
Vysvětlení vzorce - počet kombinaci s opakováním se rovná počtu umístění n-1 oddělovačů na n-1 + k míst. Typický příklad je: jdeme si do obchodu koupit 6 čokolád. V nabídce mají jen 3 druhy. Kolik máme možností? k = 6, n = 3 ..
Základy kombinatoriky v slovních úlohách
- Pravděpodobnost 81580
Šachový kroužek má 5 členů, z toho dvě dívky. Vedoucí kroužku chce losem určit, který člen bude kroužek reprezentovat na turnaji reprezentantů. Jaká je pravděpodobnost, že bude vylosována dívka? - Pravděpodobností 80530
Výrobek má s pravděpodobností 10% vzhledovou chybu, s pravděpodobností 6% funkční chybu a s pravděpodobností 3% obě chyby současně. Jsou náhodné události A - výrobek má vzhledovou chybu a B - výrobek má funkční chybu, nezávislé? - Jídelníček
Na jídelním lístku je 12 druhů jídel. Kolika způsoby můžeme vybrat 4 různá jídla do denního menu? - Pravděpodobnost 5785
Ve slosovacím zařízení jsou startovní čísla od 1 do 20. Jaká je pravděpodobnost, že si první slosující závodník ve sjezdovém lyžování vylosuje startovní číslo menší než 6?
- Basketbalovém 83340
Při basketbalovém zápase hrají dva pivoti, dva křídelníci a jeden rozehrávač. Trenér má na lavičce k dispozici 3 pivoty, 4 křidelné hráče a 2 rozehravace. Kolik různých pětic hráčů může poslat trenér na palubovku během zápasu? - Pravděpodobnost 1775
Firma dosud vyrobila 500 000 aut a z toho 5000 bylo vadných. Jaká je pravděpodobnost, že z denní produkce 50 aut bude nejvíc jedno auto vadné? - Pravděpodobnost 3080
Slohových maturitních témat ze Slovenského jazyka je 8. Ministr školství z nich vylosuje 4. Jaká je pravděpodobnost že vybere alespoň jednu z dvojice Úvaha, Diskusní příspěvek. - Medaila
Kolika způsoby lze rozdělit zlatou, stříbrnou a bronzovou medaili mezi 21 soutěžících? - Náhodná událost
Jaká je pravděpodobnost náhodné události, že ze společnosti 5 mužů a 7 žen jako první odešel muž?
- Olympiáda
Kolika způsoby se mohou umístit šest závodníků na medailových pozicích na olympiádě? Na barvě kovu záleží. - Žetony
V neprůhledném sáčku jsou červené, bílé, žluté, modré žetony, táhneme 3x po jednom žetonu a opět ho vrátíme, napiš všechny možnosti... - Chlapci
Ve třídě je 18 dívek a 13 chlapců. Pro dozor o přestávkách se losem určí 4 žáci. Jaká je pravděpodobnost, že to budou sami chlapci? - Pravděpodobnost 4665
Máme tři série výrobků. Vybereme ke kontrole kvality jeden výrobek. Určete pravděpodobnost, že se zjistí nekvalitní výroba, pokud v první sérii je 2/3, ve druhé 7/9 a ve třetí 3/4 kvalitních výrobků. - Pravděpodobnost 6325
Na polici je uloženo 27 atlasů, 29 slovníků, 8 učebnic a 16 encyklopedií. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná kniha z této police je encyklopedie? Výsledek uveďte v procentech.
slovní úlohy - více »