Trojúhelník 1 1 1.12

Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 1
b = 1
c = 1,12

Obsah trojúhelníku: S = 0,464395586
Obvod trojúhelníku: o = 3,12
Semiperimeter (poloobvod): s = 1,56

Úhel ∠ A = α = 55,94442022574° = 55°56'39″ = 0,97664105268 rad
Úhel ∠ B = β = 55,94442022574° = 55°56'39″ = 0,97664105268 rad
Úhel ∠ C = γ = 68,11215954851° = 68°6'42″ = 1,18987716 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 0,92879117199
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 0,92879117199
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 0,82884926071

Těžnice: t_a = 0,93765895579
Těžnice: t_b = 0,93765895579
Těžnice: t_c = 0,82884926071

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,29774076025
Poloměr opsané kružnice: R = 0,6043505687

Souřadnice vrcholů: A[1,12; 0] B[0; 0] C[0,56; 0,82884926071]
Těžiště: T[0,56; 0,27661642024]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[0,56; 0,22549869201]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,56; 0,29774076025]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 124,05657977426° = 124°3'21″ = 0,97664105268 rad
∠ B' = β' = 124,05657977426° = 124°3'21″ = 0,97664105268 rad
∠ C' = γ' = 111,88884045149° = 111°53'18″ = 1,18987716 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 1 b = 1 c = 1, 12

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 1 + 1 + 1, 12 = 3, 12

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 , 1 2}{2} = 1, 56

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 1, 56 (1, 56 - 1) (1, 56 - 1) (1, 56 - 1, 12) S = 0, 22 = 0, 46

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 0 , 4 6}{1} = 0, 93 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 0 , 4 6}{1} = 0, 93 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 0 , 4 6}{1 , 1 2} = 0, 83

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 ^{2} + 1 , 1 2 ^{2} - 1 ^{2}}{2 \cdot 1 \cdot 1 , 1 2}) = 55 ° 5 6^{'} 39 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 ^{2} + 1 , 1 2 ^{2} - 1 ^{2}}{2 \cdot 1 \cdot 1 , 1 2}) = 55 ° 5 6^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 55 ° 5 6^{'} 39 " - 55 ° 5 6^{'} 39 " = 68 ° 6^{'} 42 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{0 , 4 6}{1 , 5 6} = 0, 3

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1 , 1 2}{4 \cdot 0 , 2 9 7 \cdot 1 , 5 6} = 0, 6

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 ^{2} + 2 \cdot 1 , 1 2 ^{2} - 1 ^{2}}{2} = 0, 937 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 1 2 ^{2} + 2 \cdot 1 ^{2} - 1 ^{2}}{2} = 0, 937 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 ^{2} + 2 \cdot 1 ^{2} - 1 , 1 2 ^{2}}{2} = 0, 828

Vypočítat další trojúhelník