Trojúhelník 1 8 8
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 1
b = 8
c = 8
Obsah trojúhelníku: S = 3,99221798557
Obvod trojúhelníku: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5
Úhel ∠ A = α = 7,16766433969° = 7°10' = 0,12550815236 rad
Úhel ∠ B = β = 86,41766783015° = 86°25' = 1,5088255565 rad
Úhel ∠ C = γ = 86,41766783015° = 86°25' = 1,5088255565 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 7,98443597113
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 0,99880449639
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 0,99880449639
Těžnice: ta = 7,98443597113
Těžnice: tb = 4,06220192023
Těžnice: tc = 4,06220192023
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,47696682183
Poloměr opsané kružnice: R = 4,00878354629
Souřadnice vrcholů: A[8; 0] B[0; 0] C[0,06225; 0,99880449639]
Těžiště: T[2,68875; 0,33326816546]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4; 0,25504897164]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[0,5; 0,47696682183]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 172,83333566031° = 172°50' = 0,12550815236 rad
∠ B' = β' = 93,58333216985° = 93°35' = 1,5088255565 rad
∠ C' = γ' = 93,58333216985° = 93°35' = 1,5088255565 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=1 b=8 c=8
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=1+8+8=17
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=217=8,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8,5(8,5−1)(8,5−8)(8,5−8) S=15,94=3,99
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=12⋅ 3,99=7,98 vb=b2 S=82⋅ 3,99=1 vc=c2 S=82⋅ 3,99=1
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 882+82−12)=7°10′ b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 1⋅ 812+82−82)=86°25′ γ=180°−α−β=180°−7°10′−86°25′=86°25′
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=8,53,99=0,47
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,47⋅ 8,51⋅ 8⋅ 8=4,01
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 82−12=7,984 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 82+2⋅ 12−82=4,062 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 12+2⋅ 82−82=4,062
Vypočítat další trojúhelník