Trojúhelník 10 10 18
Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 10
c = 18
Obsah trojúhelníku: S = 39,23300904919
Obvod trojúhelníku: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19
Úhel ∠ A = α = 25,84219327632° = 25°50'31″ = 0,45110268118 rad
Úhel ∠ B = β = 25,84219327632° = 25°50'31″ = 0,45110268118 rad
Úhel ∠ C = γ = 128,31661344737° = 128°18'58″ = 2,243953903 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 7,84660180984
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,84660180984
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 4,35988989435
Těžnice: ta = 13,67547943312
Těžnice: tb = 13,67547943312
Těžnice: tc = 4,35988989435
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,06547416048
Poloměr opsané kružnice: R = 11,47107866935
Souřadnice vrcholů: A[18; 0] B[0; 0] C[9; 4,35988989435]
Těžiště: T[9; 1,45329663145]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9; -7,112188775]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9; 2,06547416048]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 154,15880672368° = 154°9'29″ = 0,45110268118 rad
∠ B' = β' = 154,15880672368° = 154°9'29″ = 0,45110268118 rad
∠ C' = γ' = 51,68438655263° = 51°41'2″ = 2,243953903 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=10 c=18
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+10+18=38
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=238=19
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19(19−10)(19−10)(19−18) S=1539=39,23
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 39,23=7,85 vb=b2 S=102⋅ 39,23=7,85 vc=c2 S=182⋅ 39,23=4,36
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 18102+182−102)=25°50′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 18102+182−102)=25°50′31" γ=180°−α−β=180°−25°50′31"−25°50′31"=128°18′58"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1939,23=2,06
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,065⋅ 1910⋅ 10⋅ 18=11,47
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 182−102=13,675 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 182+2⋅ 102−102=13,675 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 102−182=4,359
Vypočítat další trojúhelník