Trojúhelník 10 10 19
Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 10
c = 19
Obsah trojúhelníku: S = 29,66437404924
Obvod trojúhelníku: o = 39
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,5
Úhel ∠ A = α = 18,19548723388° = 18°11'42″ = 0,31875604293 rad
Úhel ∠ B = β = 18,19548723388° = 18°11'42″ = 0,31875604293 rad
Úhel ∠ C = γ = 143,61102553225° = 143°36'37″ = 2,5066471795 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 5,93327480985
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 5,93327480985
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,12224989992
Těžnice: ta = 14,33552711868
Těžnice: tb = 14,33552711868
Těžnice: tc = 3,12224989992
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,52112174611
Poloměr opsané kružnice: R = 16,01328153805
Souřadnice vrcholů: A[19; 0] B[0; 0] C[9,5; 3,12224989992]
Těžiště: T[9,5; 1,04108329997]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[9,5; -12,89903163813]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 1,52112174611]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 161,80551276612° = 161°48'18″ = 0,31875604293 rad
∠ B' = β' = 161,80551276612° = 161°48'18″ = 0,31875604293 rad
∠ C' = γ' = 36,39897446775° = 36°23'23″ = 2,5066471795 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=10 c=19
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+10+19=39
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=239=19,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19,5(19,5−10)(19,5−10)(19,5−19) S=879,94=29,66
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 29,66=5,93 vb=b2 S=102⋅ 29,66=5,93 vc=c2 S=192⋅ 29,66=3,12
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 19102+192−102)=18°11′42" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 19102+192−102)=18°11′42" γ=180°−α−β=180°−18°11′42"−18°11′42"=143°36′37"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=19,529,66=1,52
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,521⋅ 19,510⋅ 10⋅ 19=16,01
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 192−102=14,335 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 192+2⋅ 102−102=14,335 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 102−192=3,122
Vypočítat další trojúhelník