Trojúhelník 10 11 13
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 11
c = 13
Obsah trojúhelníku: S = 53,44215568635
Obvod trojúhelníku: o = 34
Semiperimeter (poloobvod): s = 17
Úhel ∠ A = α = 48,36986204606° = 48°22'7″ = 0,84441916817 rad
Úhel ∠ B = β = 55,30333976437° = 55°18'12″ = 0,96552263764 rad
Úhel ∠ C = γ = 76,32879818956° = 76°19'41″ = 1,33221745955 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 10,68883113727
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,71766467025
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 8,2221777979
Těžnice: ta = 10,95444511501
Těžnice: tb = 10,21102889283
Těžnice: tc = 8,26113558209
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,1443620992
Poloměr opsané kružnice: R = 6,69895506228
Souřadnice vrcholů: A[13; 0] B[0; 0] C[5,69223076923; 8,2221777979]
Těžiště: T[6,23107692308; 2,74105926597]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[6,5; 1,58111665108]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 3,1443620992]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 131,63113795394° = 131°37'53″ = 0,84441916817 rad
∠ B' = β' = 124,69766023563° = 124°41'48″ = 0,96552263764 rad
∠ C' = γ' = 103,67220181044° = 103°40'19″ = 1,33221745955 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=11 c=13
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+11+13=34
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=234=17
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=17(17−10)(17−11)(17−13) S=2856=53,44
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 53,44=10,69 vb=b2 S=112⋅ 53,44=9,72 vc=c2 S=132⋅ 53,44=8,22
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 13112+132−102)=48°22′7" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 13102+132−112)=55°18′12" γ=180°−α−β=180°−48°22′7"−55°18′12"=76°19′41"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1753,44=3,14
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,144⋅ 1710⋅ 11⋅ 13=6,69
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 132−102=10,954 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 102−112=10,21 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 112−132=8,261
Vypočítat další trojúhelník