Trojúhelník 10 13 15
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 13
c = 15
Obsah trojúhelníku: S = 64,06224695122
Obvod trojúhelníku: o = 38
Semiperimeter (poloobvod): s = 19
Úhel ∠ A = α = 41,07553488744° = 41°4'31″ = 0,71769000793 rad
Úhel ∠ B = β = 58,66877485024° = 58°40'4″ = 1,02439453761 rad
Úhel ∠ C = γ = 80,25769026232° = 80°15'25″ = 1,40107471982 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12,81224939024
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,85657645403
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 8,54216626016
Těžnice: ta = 13,11548770486
Těžnice: tb = 10,96658560997
Těžnice: tc = 8,84659030065
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,37217089217
Poloměr opsané kružnice: R = 7,61097597191
Souřadnice vrcholů: A[15; 0] B[0; 0] C[5,2; 8,54216626016]
Těžiště: T[6,73333333333; 2,84772208672]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,5; 1,28878054909]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 3,37217089217]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 138,92546511256° = 138°55'29″ = 0,71769000793 rad
∠ B' = β' = 121,33222514976° = 121°19'56″ = 1,02439453761 rad
∠ C' = γ' = 99,74330973768° = 99°44'35″ = 1,40107471982 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=13 c=15
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+13+15=38
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=238=19
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=19(19−10)(19−13)(19−15) S=4104=64,06
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 64,06=12,81 vb=b2 S=132⋅ 64,06=9,86 vc=c2 S=152⋅ 64,06=8,54
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 15132+152−102)=41°4′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 15102+152−132)=58°40′4" γ=180°−α−β=180°−41°4′31"−58°40′4"=80°15′25"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=1964,06=3,37
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,372⋅ 1910⋅ 13⋅ 15=7,61
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 152−102=13,115 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 102−132=10,966 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 132−152=8,846
Vypočítat další trojúhelník