Trojúhelník 10 14 16
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 14
c = 16
Obsah trojúhelníku: S = 69,28220323028
Obvod trojúhelníku: o = 40
Semiperimeter (poloobvod): s = 20
Úhel ∠ A = α = 38,21332107017° = 38°12'48″ = 0,66769463445 rad
Úhel ∠ B = β = 60° = 1,04771975512 rad
Úhel ∠ C = γ = 81,78767892983° = 81°47'12″ = 1,42774487579 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 13,85664064606
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,89774331861
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 8,66602540378
Těžnice: ta = 14,17774468788
Těžnice: tb = 11,35878166916
Těžnice: tc = 9,16551513899
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,46441016151
Poloměr opsané kružnice: R = 8,08329037687
Souřadnice vrcholů: A[16; 0] B[0; 0] C[5; 8,66602540378]
Těžiště: T[7; 2,88767513459]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8; 1,15547005384]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6; 3,46441016151]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 141,78767892983° = 141°47'12″ = 0,66769463445 rad
∠ B' = β' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ C' = γ' = 98,21332107017° = 98°12'48″ = 1,42774487579 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=14 c=16
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+14+16=40
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=240=20
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=20(20−10)(20−14)(20−16) S=4800=69,28
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 69,28=13,86 vb=b2 S=142⋅ 69,28=9,9 vc=c2 S=162⋅ 69,28=8,66
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 14⋅ 16142+162−102)=38°12′48" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 16102+162−142)=60° γ=180°−α−β=180°−38°12′48"−60°=81°47′12"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2069,28=3,46
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,464⋅ 2010⋅ 14⋅ 16=8,08
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 142+2⋅ 162−102=14,177 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 162+2⋅ 102−142=11,358 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 142−162=9,165
Vypočítat další trojúhelník