Trojúhelník 10 20 29
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 20
c = 29
Obsah trojúhelníku: S = 52,2732722332
Obvod trojúhelníku: o = 59
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,5
Úhel ∠ A = α = 10,38443665905° = 10°23'4″ = 0,18112413877 rad
Úhel ∠ B = β = 21,1311000091° = 21°7'52″ = 0,36988055258 rad
Úhel ∠ C = γ = 148,48546333185° = 148°29'5″ = 2,592154574 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 10,45545444664
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 5,22772722332
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,60550153332
Těžnice: ta = 24,40328686838
Těžnice: tb = 19,24883765549
Těžnice: tc = 6,30547601065
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,77219566892
Poloměr opsané kružnice: R = 27,73991330566
Souřadnice vrcholů: A[29; 0] B[0; 0] C[9,32875862069; 3,60550153332]
Těžiště: T[12,7765862069; 1,20216717777]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,5; -23,64876109308]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[9,5; 1,77219566892]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 169,61656334095° = 169°36'56″ = 0,18112413877 rad
∠ B' = β' = 158,8698999909° = 158°52'8″ = 0,36988055258 rad
∠ C' = γ' = 31,51553666815° = 31°30'55″ = 2,592154574 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=20 c=29
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+20+29=59
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=259=29,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=29,5(29,5−10)(29,5−20)(29,5−29) S=2732,44=52,27
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 52,27=10,45 vb=b2 S=202⋅ 52,27=5,23 vc=c2 S=292⋅ 52,27=3,61
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 20⋅ 29202+292−102)=10°23′4" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 29102+292−202)=21°7′52" γ=180°−α−β=180°−10°23′4"−21°7′52"=148°29′5"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=29,552,27=1,77
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,772⋅ 29,510⋅ 20⋅ 29=27,74
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 202+2⋅ 292−102=24,403 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 292+2⋅ 102−202=19,248 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 202−292=6,305
Vypočítat další trojúhelník