Trojúhelník 10 24 25
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10
b = 24
c = 25
Obsah trojúhelníku: S = 119,32107337389
Obvod trojúhelníku: o = 59
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,5
Úhel ∠ A = α = 23,43767071991° = 23°26'12″ = 0,40990477064 rad
Úhel ∠ B = β = 72,66224819825° = 72°39'45″ = 1,26881995533 rad
Úhel ∠ C = γ = 83,90108108185° = 83°54'3″ = 1,46443453939 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 23,86441467478
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,94333944782
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 9,54656586991
Těžnice: ta = 23,99895810718
Těžnice: tb = 14,78217454991
Těžnice: tc = 13,48114687627
Poloměr vepsané kružnice: r = 4,04547706352
Poloměr opsané kružnice: R = 12,57111597054
Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[2,98; 9,54656586991]
Těžiště: T[9,32766666667; 3,1821886233]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; 1,33656857187]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[5,5; 4,04547706352]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 156,56332928009° = 156°33'48″ = 0,40990477064 rad
∠ B' = β' = 107,33875180175° = 107°20'15″ = 1,26881995533 rad
∠ C' = γ' = 96,09991891815° = 96°5'57″ = 1,46443453939 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10 b=24 c=25
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10+24+25=59
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=259=29,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=29,5(29,5−10)(29,5−24)(29,5−25) S=14237,44=119,32
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=102⋅ 119,32=23,86 vb=b2 S=242⋅ 119,32=9,94 vc=c2 S=252⋅ 119,32=9,55
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 24⋅ 25242+252−102)=23°26′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10⋅ 25102+252−242)=72°39′45" γ=180°−α−β=180°−23°26′12"−72°39′45"=83°54′3"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=29,5119,32=4,04
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 4,045⋅ 29,510⋅ 24⋅ 25=12,57
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 242+2⋅ 252−102=23,99 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 102−242=14,782 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 102+2⋅ 242−252=13,481
Vypočítat další trojúhelník