Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek

Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 10,1
b = 8,4
c = 8,2

Obsah trojúhelníku: S = 33,25774178756
Obvod trojúhelníku: o = 26,7
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,35

Úhel ∠ A = α = 74,94218254862° = 74°56'31″ = 1,30879816022 rad
Úhel ∠ B = β = 53,43295896642° = 53°25'47″ = 0,93325222576 rad
Úhel ∠ C = γ = 51,62985848496° = 51°37'43″ = 0,90110887938 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 6,58656273021
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 7,91884328275
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 8,11215653355

Těžnice: t_a = 6,58876778913
Těžnice: t_b = 8,18444364498
Těžnice: t_c = 8,3355166465

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,49111923502
Poloměr opsané kružnice: R = 5,23295701564

Souřadnice vrcholů: A[8,2; 0] B[0; 0] C[6,01876829268; 8,11215653355]
Těžiště: T[4,73992276423; 2,70438551118]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,1; 3,24662908096]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,95; 2,49111923502]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 105,05881745138° = 105°3'29″ = 1,30879816022 rad
∠ B' = β' = 126,57704103358° = 126°34'13″ = 0,93325222576 rad
∠ C' = γ' = 128,37114151504° = 128°22'17″ = 0,90110887938 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 10, 1 b = 8, 4 c = 8, 2

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 10, 1 + 8, 4 + 8, 2 = 26, 7

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 6 , 7}{2} = 13, 35

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13, 35 (13, 35 - 10, 1) (13, 35 - 8, 4) (13, 35 - 8, 2) S = 1106, 06 = 33, 26

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 3 , 2 6}{1 0 , 1} = 6, 59 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 3 , 2 6}{8 , 4} = 7, 92 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 3 , 2 6}{8 , 2} = 8, 11

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 , 4 ^{2} + 8 , 2 ^{2} - 1 0 , 1 ^{2}}{2 \cdot 8 , 4 \cdot 8 , 2}) = 74 ° 5 6^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 , 1 ^{2} + 8 , 2 ^{2} - 8 , 4 ^{2}}{2 \cdot 1 0 , 1 \cdot 8 , 2}) = 53 ° 2 5^{'} 47 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 74 ° 5 6^{'} 31 " - 53 ° 2 5^{'} 47 " = 51 ° 3 7^{'} 43 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 3 , 2 6}{1 3 , 3 5} = 2, 49

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 , 1 \cdot 8 , 4 \cdot 8 , 2}{4 \cdot 2 , 4 9 1 \cdot 1 3 , 3 5} = 5, 23

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 , 4 ^{2} + 2 \cdot 8 , 2 ^{2} - 1 0 , 1 ^{2}}{2} = 6, 588 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 , 2 ^{2} + 2 \cdot 1 0 , 1 ^{2} - 8 , 4 ^{2}}{2} = 8, 184 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 , 1 ^{2} + 2 \cdot 8 , 4 ^{2} - 8 , 2 ^{2}}{2} = 8, 335

Vypočítat další trojúhelník