Trojúhelník 10.1 8.4 8.2
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 10,1
b = 8,4
c = 8,2
Obsah trojúhelníku: S = 33,25774178756
Obvod trojúhelníku: o = 26,7
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,35
Úhel ∠ A = α = 74,94218254862° = 74°56'31″ = 1,30879816022 rad
Úhel ∠ B = β = 53,43295896642° = 53°25'47″ = 0,93325222576 rad
Úhel ∠ C = γ = 51,62985848496° = 51°37'43″ = 0,90110887938 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 6,58656273021
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 7,91884328275
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 8,11215653355
Těžnice: ta = 6,58876778913
Těžnice: tb = 8,18444364498
Těžnice: tc = 8,3355166465
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,49111923502
Poloměr opsané kružnice: R = 5,23295701564
Souřadnice vrcholů: A[8,2; 0] B[0; 0] C[6,01876829268; 8,11215653355]
Těžiště: T[4,73992276423; 2,70438551118]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,1; 3,24662908096]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[4,95; 2,49111923502]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 105,05881745138° = 105°3'29″ = 1,30879816022 rad
∠ B' = β' = 126,57704103358° = 126°34'13″ = 0,93325222576 rad
∠ C' = γ' = 128,37114151504° = 128°22'17″ = 0,90110887938 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=10,1 b=8,4 c=8,2
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=10,1+8,4+8,2=26,7
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=226,7=13,35
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,35(13,35−10,1)(13,35−8,4)(13,35−8,2) S=1106,06=33,26
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=10,12⋅ 33,26=6,59 vb=b2 S=8,42⋅ 33,26=7,92 vc=c2 S=8,22⋅ 33,26=8,11
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8,4⋅ 8,28,42+8,22−10,12)=74°56′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 10,1⋅ 8,210,12+8,22−8,42)=53°25′47" γ=180°−α−β=180°−74°56′31"−53°25′47"=51°37′43"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=13,3533,26=2,49
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,491⋅ 13,3510,1⋅ 8,4⋅ 8,2=5,23
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 8,42+2⋅ 8,22−10,12=6,588 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 8,22+2⋅ 10,12−8,42=8,184 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 10,12+2⋅ 8,42−8,22=8,335
Vypočítat další trojúhelník