Výpočet trojúhelníku SSU

Trojúhelník má dvě řešení, strana c=126.3888321747 a c=15.03330344904

#1 Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 100
b = 90
c = 126,3888321747

Obsah trojúhelníku: S = 4468,5021968503
Obvod trojúhelníku: o = 316,3888321747
Semiperimeter (poloobvod): s = 158,19441608735

Úhel ∠ A = α = 51,78330767038° = 51°46'59″ = 0,90437851853 rad
Úhel ∠ B = β = 45° = 0,78553981634 rad
Úhel ∠ C = γ = 83,21769232962° = 83°13'1″ = 1,45224093049 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 89,37700393701
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 99.33000437445
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 70,71106781187

Těžnice: t_a = 97,65875851483
Těžnice: t_b = 104.76995890011
Těžnice: t_c = 71,10990573099

Poloměr vepsané kružnice: r = 28,24769463084
Poloměr opsané kružnice: R = 63,64396103068

Souřadnice vrcholů: A[126,3888321747; 0] B[0; 0] C[70,71106781187; 70,71106781187]
Těžiště: T[65.76996666219; 23,57702260396]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[63,19441608735; 7,51765172452]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[68,19441608735; 28,24769463084]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 128,21769232962° = 128°13'1″ = 0,90437851853 rad
∠ B' = β' = 135° = 0,78553981634 rad
∠ C' = γ' = 96,78330767038° = 96°46'59″ = 1,45224093049 rad

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).

1. Kosinová věta

a = 100 b = 90 β = 45 ° b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β 9 0^{2} = 10 0^{2} + c^{2} - 2 \cdot 100 \cdot c \cdot cos 45 ° c^{2} - 141, 421 c + 1900 = 0 p = 1; q = - 141, 421; r = 1900 D = q^{2} - 4 p r = 141, 42 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1900 = 12400 D > 0 c_{1, 2} = \frac{- q \pm D}{2 p} = \frac{1 4 1 , 4 2 \pm 1 2 4 0 0}{2} = \frac{1 4 1 , 4 2 \pm 2 0 3 1}{2} c_{1, 2} = 70, 710678 \pm 55, 677644 c_{1} = 126, 388321747 c_{2} = 15, 03303449 c > 0 c = 126, 39

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.

a = 100 b = 90 c = 126, 39

2. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 100 + 90 + 126, 39 = 316, 39

3. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 1 6 , 3 9}{2} = 158, 19

4. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 158, 19 (158, 19 - 100) (158, 19 - 90) (158, 19 - 126, 39) S = 19967509, 84 = 4468, 5

5. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 4 6 8 , 5}{1 0 0} = 89, 37 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 4 6 8 , 5}{9 0} = 99, 3 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 4 6 8 , 5}{1 2 6 , 3 9} = 70, 71

6. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 0 ^{2} + 1 2 6 , 3 9 ^{2} - 1 0 0 ^{2}}{2 \cdot 9 0 \cdot 1 2 6 , 3 9}) = 51 ° 4 6^{'} 59 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 0 ^{2} + 1 2 6 , 3 9 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 0 \cdot 1 2 6 , 3 9}) = 45 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 51 ° 4 6^{'} 59 " - 45 ° = 83 ° 1 3^{'} 1 "

7. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 4 6 8 , 5}{1 5 8 , 1 9} = 28, 25

8. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 0 \cdot 9 0 \cdot 1 2 6 , 3 9}{4 \cdot 2 8 , 2 4 7 \cdot 1 5 8 , 1 9 4} = 63, 64

9. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 0 ^{2} + 2 \cdot 1 2 6 , 3 9 ^{2} - 1 0 0 ^{2}}{2} = 97, 658 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 6 , 3 9 ^{2} + 2 \cdot 1 0 0 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2} = 104, 7 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 0 ^{2} + 2 \cdot 9 0 ^{2} - 1 2 6 , 3 9 ^{2}}{2} = 71, 109

#2 Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 100
b = 90
c = 15,03330344904

Obsah trojúhelníku: S = 531,4988031497
Obvod trojúhelníku: o = 205,03330344904
Semiperimeter (poloobvod): s = 102,51765172452

Úhel ∠ A = α = 128,21769232962° = 128°13'1″ = 2,23878074683 rad
Úhel ∠ B = β = 45° = 0,78553981634 rad
Úhel ∠ C = γ = 6,78330767038° = 6°46'59″ = 0,11883870219 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 10,63299606299
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 11,81110673666
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 70,71106781187

Těžnice: t_a = 40,78798487368
Těžnice: t_b = 55,57697405338
Těžnice: t_c = 94,8344075988

Poloměr vepsané kružnice: r = 5,18545111966
Poloměr opsané kružnice: R = 63,64396103068

Souřadnice vrcholů: A[15,03330344904; 0] B[0; 0] C[70,71106781187; 70,71106781187]
Těžiště: T[28,58112375363; 23,57702260396]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[7,51765172452; 63,19441608735]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[12,51765172452; 5,18545111966]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 51,78330767038° = 51°46'59″ = 2,23878074683 rad
∠ B' = β' = 135° = 0,78553981634 rad
∠ C' = γ' = 173,21769232962° = 173°13'1″ = 0,11883870219 rad

Vypočítat další trojúhelník