Trojúhelník 100 90 11.77

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 100
b = 90
c = 11,77

Obsah trojúhelníku: S = 294,28993575651
Obvod trojúhelníku: o = 201,77
Semiperimeter (poloobvod): s = 100,885

Úhel ∠ A = α = 146,24658907748° = 146°14'45″ = 2,55224723115 rad
Úhel ∠ B = β = 30,0044424696° = 30°16″ = 0,52436760011 rad
Úhel ∠ C = γ = 3,75496845292° = 3°44'59″ = 0,06554443409 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 5,88657871513
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 6,54397635014
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 50,00766877766

Těžnice: t_a = 40,24401099651
Těžnice: t_b = 55,17548715449
Těžnice: t_c = 94,9499285279

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,91770774403
Poloměr opsané kružnice: R = 89,98879636121

Souřadnice vrcholů: A[11,77; 0] B[0; 0] C[86,59986788445; 50,00766877766]
Těžiště: T[32,79895596148; 16,66988959255]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[5,885; 89,79553248786]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10,885; 2,91770774403]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 33,75441092253° = 33°45'15″ = 2,55224723115 rad
∠ B' = β' = 149,9965575304° = 149°59'44″ = 0,52436760011 rad
∠ C' = γ' = 176,25503154708° = 176°15'1″ = 0,06554443409 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 100 b = 90 c = 11, 77

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 100 + 90 + 11, 77 = 201, 77

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 0 1 , 7 7}{2} = 100, 89

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 100, 89 (100, 89 - 100) (100, 89 - 90) (100, 89 - 11, 77) S = 86606, 23 = 294, 29

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 9 4 , 2 9}{1 0 0} = 5, 89 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 9 4 , 2 9}{9 0} = 6, 54 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 9 4 , 2 9}{1 1 , 7 7} = 50, 01

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 0 ^{2} + 1 1 , 7 7 ^{2} - 1 0 0 ^{2}}{2 \cdot 9 0 \cdot 1 1 , 7 7}) = 146 ° 1 4^{'} 45 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 0 ^{2} + 1 1 , 7 7 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 0 \cdot 1 1 , 7 7}) = 30 ° 16 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 146 ° 1 4^{'} 45 " - 30 ° 16 " = 3 ° 4 4^{'} 59 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 9 4 , 2 9}{1 0 0 , 8 9} = 2, 92

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 0 \cdot 9 0 \cdot 1 1 , 7 7}{4 \cdot 2 , 9 1 7 \cdot 1 0 0 , 8 8 5} = 89, 99

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 , 7 7 ^{2} - 1 0 0 ^{2}}{2} = 40, 24 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 , 7 7 ^{2} + 2 \cdot 1 0 0 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2} = 55, 175 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 0 ^{2} + 2 \cdot 9 0 ^{2} - 1 1 , 7 7 ^{2}}{2} = 94, 949

Vypočítat další trojúhelník