Trojúhelník 100 90 161.44

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 100
b = 90
c = 161,44

Obsah trojúhelníku: S = 4035,72105368932
Obvod trojúhelníku: o = 351,44
Semiperimeter (poloobvod): s = 175,72

Úhel ∠ A = α = 33,74663378675° = 33°44'47″ = 0,58989847063 rad
Úhel ∠ B = β = 29,99877094999° = 29°59'52″ = 0,52435587988 rad
Úhel ∠ C = γ = 116,25659526327° = 116°15'21″ = 2,02990491485 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 80,71444107379
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 89,68326785976
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 49,99765378703

Těžnice: t_a = 120,75436202356
Těžnice: t_b = 126,51765475343
Těžnice: t_c = 50,34216487612

Poloměr vepsané kružnice: r = 22,96767683638
Poloměr opsané kružnice: R = 90,00662322649

Souřadnice vrcholů: A[161,44; 0] B[0; 0] C[86,60545391477; 49,99765378703]
Těžiště: T[82,68215130492; 16,66655126234]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[80,72; -39,8177125041]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[85,72; 22,96767683638]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 146,25436621325° = 146°15'13″ = 0,58989847063 rad
∠ B' = β' = 150,00222905001° = 150°8″ = 0,52435587988 rad
∠ C' = γ' = 63,74440473673° = 63°44'39″ = 2,02990491485 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 100 b = 90 c = 161, 44

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 100 + 90 + 161, 44 = 351, 44

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 5 1 , 4 4}{2} = 175, 72

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 175, 72 (175, 72 - 100) (175, 72 - 90) (175, 72 - 161, 44) S = 16287040, 25 = 4035, 72

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 0 3 5 , 7 2}{1 0 0} = 80, 71 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 0 3 5 , 7 2}{9 0} = 89, 68 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 0 3 5 , 7 2}{1 6 1 , 4 4} = 50

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 0 ^{2} + 1 6 1 , 4 4 ^{2} - 1 0 0 ^{2}}{2 \cdot 9 0 \cdot 1 6 1 , 4 4}) = 33 ° 4 4^{'} 47 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 0 ^{2} + 1 6 1 , 4 4 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 0 \cdot 1 6 1 , 4 4}) = 29 ° 5 9^{'} 52 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 4 4^{'} 47 " - 29 ° 5 9^{'} 52 " = 116 ° 1 5^{'} 21 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 0 3 5 , 7 2}{1 7 5 , 7 2} = 22, 97

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 0 \cdot 9 0 \cdot 1 6 1 , 4 4}{4 \cdot 2 2 , 9 6 7 \cdot 1 7 5 , 7 2} = 90, 01

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 0 ^{2} + 2 \cdot 1 6 1 , 4 4 ^{2} - 1 0 0 ^{2}}{2} = 120, 754 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 1 , 4 4 ^{2} + 2 \cdot 1 0 0 ^{2} - 9 0 ^{2}}{2} = 126, 517 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 0 ^{2} + 2 \cdot 9 0 ^{2} - 1 6 1 , 4 4 ^{2}}{2} = 50, 342

Vypočítat další trojúhelník