Trojúhelník 102 60 119.94

Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Délky stran trojúhelníku:
a = 102
b = 60
c = 119,94

Obsah trojúhelníku: S = 3058,51224927453
Obvod trojúhelníku: o = 281,94
Semiperimeter (poloobvod): s = 140,97

Úhel ∠ A = α = 58,21329538663° = 58°12'47″ = 1,01660077123 rad
Úhel ∠ B = β = 300,0004595932° = 30°2″ = 0,5243606797 rad
Úhel ∠ C = γ = 91,78765865405° = 91°47'12″ = 1,60219781443 rad

Výška trojúhelníku na stranu a: v_a = 59,97108331911
Výška trojúhelníku na stranu b: v_b = 101,95504164248
Výška trojúhelníku na stranu c: v_c = 51,00107085667

Těžnice: t_a = 79,94987448307
Těžnice: t_b = 107,21438134757
Těžnice: t_c = 58,35875110847

Poloměr vepsané kružnice: r = 21,69661941743
Poloměr opsané kružnice: R = 59,99991664037

Souřadnice vrcholů: A[119,94; 0] B[0; 0] C[88,3344182091; 51,00107085667]
Těžiště: T[69,42547273637; 177,0002361889]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[59,97; -1,87105798935]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[80,97; 21,69661941743]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 121,78770461337° = 121°47'13″ = 1,01660077123 rad
∠ B' = β' = 1509,9995404068° = 149°59'58″ = 0,5243606797 rad
∠ C' = γ' = 88,21334134595° = 88°12'48″ = 1,60219781443 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.

a = 102 b = 60 c = 119, 94

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 102 + 60 + 119, 94 = 281, 94

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 8 1 , 9 4}{2} = 140, 97

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 140, 97 (140, 97 - 102) (140, 97 - 60) (140, 97 - 119, 94) S = 9354498, 67 = 3058, 51

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 0 5 8 , 5 1}{1 0 2} = 59, 97 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 0 5 8 , 5 1}{6 0} = 101, 95 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 0 5 8 , 5 1}{1 1 9 , 9 4} = 51

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 0 ^{2} + 1 1 9 , 9 4 ^{2} - 1 0 2 ^{2}}{2 \cdot 6 0 \cdot 1 1 9 , 9 4}) = 58 ° 1 2^{'} 47 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 2 ^{2} + 1 1 9 , 9 4 ^{2} - 6 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 2 \cdot 1 1 9 , 9 4}) = 30 ° 2 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 58 ° 1 2^{'} 47 " - 30 ° 2 " = 91 ° 4 7^{'} 12 "

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 0 5 8 , 5 1}{1 4 0 , 9 7} = 21, 7

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 2 \cdot 6 0 \cdot 1 1 9 , 9 4}{4 \cdot 2 1 , 6 9 6 \cdot 1 4 0 , 9 7} = 60

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 0 ^{2} + 2 \cdot 1 1 9 , 9 4 ^{2} - 1 0 2 ^{2}}{2} = 79, 949 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 9 , 9 4 ^{2} + 2 \cdot 1 0 2 ^{2} - 6 0 ^{2}}{2} = 107, 214 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 2 ^{2} + 2 \cdot 6 0 ^{2} - 1 1 9 , 9 4 ^{2}}{2} = 58, 358

Vypočítat další trojúhelník