Trojúhelník 11.2 6.5 8.3




Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 11,2   b = 6,5   c = 8,3

Obsah trojúhelníku: S = 26,73770529416
Obvod trojúhelníku: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13

Úhel ∠ A = α = 97,61658228711° = 97°36'57″ = 1,70437175111 rad
Úhel ∠ B = β = 35,11662871715° = 35°6'59″ = 0,61328948322 rad
Úhel ∠ C = γ = 47,26878899574° = 47°16'4″ = 0,82549803102 rad

Výška trojúhelníku: va = 4,77444737396
Výška trojúhelníku: vb = 8,22767855205
Výška trojúhelníku: vc = 6,44326633594

Těžnice: ta = 4,92203658401
Těžnice: tb = 9,30660464215
Těžnice: tc = 8,16222607162

Poloměr vepsané kružnice: r = 2,05766963801
Poloměr opsané kružnice: R = 5,65498373374

Souřadnice vrcholů: A[8,3; 0] B[0; 0] C[9,16114457831; 6,44326633594]
Těžiště: T[5,82204819277; 2,14875544531]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,15; 3,83438181932]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[6,5; 2,05766963801]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 82,38441771289° = 82°23'3″ = 1,70437175111 rad
∠ B' = β' = 144,88437128285° = 144°53'1″ = 0,61328948322 rad
∠ C' = γ' = 132,73221100426° = 132°43'56″ = 0,82549803102 rad

Vypočítat další trojúhelník

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?


Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=11,2 b=6,5 c=8,3

1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o=a+b+c=11,2+6,5+8,3=26

2. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s=2o=226=13

3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S=s(sa)(sb)(sc) S=13(1311,2)(136,5)(138,3) S=714,87=26,74

4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S=2ava  va=a2 S=11,22 26,74=4,77 vb=b2 S=6,52 26,74=8,23 vc=c2 S=8,32 26,74=6,44

5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 6,5 8,36,52+8,3211,22)=97°3657"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 11,2 8,311,22+8,326,52)=35°659" γ=180°αβ=180°97°3657"35°659"=47°164"

6. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S=rs r=sS=1326,74=2,06

7. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R=4 rsabc=4 2,057 1311,2 6,5 8,3=5,65

8. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

ta=22b2+2c2a2=22 6,52+2 8,3211,22=4,92 tb=22c2+2a2b2=22 8,32+2 11,226,52=9,306 tc=22a2+2b2c2=22 11,22+2 6,528,32=8,162

Vypočítat další trojúhelník