Trojúhelník 12 13 24
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 12
b = 13
c = 24
Obsah trojúhelníku: S = 41,9643525829
Obvod trojúhelníku: o = 49
Semiperimeter (poloobvod): s = 24,5
Úhel ∠ A = α = 15,60545888784° = 15°36'17″ = 0,27223514543 rad
Úhel ∠ B = β = 16,94325916094° = 16°56'33″ = 0,29657040074 rad
Úhel ∠ C = γ = 147,45328195121° = 147°27'10″ = 2,57435371918 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 6,99439209715
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 6,45659270506
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,49769604857
Těžnice: ta = 18,34439363278
Těžnice: tb = 17,826554347
Těžnice: tc = 3,53655339059
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,71327969726
Poloměr opsané kružnice: R = 22,30550847494
Souřadnice vrcholů: A[24; 0] B[0; 0] C[11,47991666667; 3,49769604857]
Těžiště: T[11,82663888889; 1,16656534952]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12; -18,80220425933]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11,5; 1,71327969726]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 164,39554111216° = 164°23'43″ = 0,27223514543 rad
∠ B' = β' = 163,05774083906° = 163°3'27″ = 0,29657040074 rad
∠ C' = γ' = 32,54771804879° = 32°32'50″ = 2,57435371918 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=12 b=13 c=24
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=12+13+24=49
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=249=24,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=24,5(24,5−12)(24,5−13)(24,5−24) S=1760,94=41,96
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 41,96=6,99 vb=b2 S=132⋅ 41,96=6,46 vc=c2 S=242⋅ 41,96=3,5
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 24132+242−122)=15°36′17" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 24122+242−132)=16°56′33" γ=180°−α−β=180°−15°36′17"−16°56′33"=147°27′10"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=24,541,96=1,71
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,713⋅ 24,512⋅ 13⋅ 24=22,31
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 242−122=18,344 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 242+2⋅ 122−132=17,826 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 132−242=3,536
Vypočítat další trojúhelník