Trojúhelník 12 15 17
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 12
b = 15
c = 17
Obsah trojúhelníku: S = 87,75496438739
Obvod trojúhelníku: o = 44
Semiperimeter (poloobvod): s = 22
Úhel ∠ A = α = 43,4990358347° = 43°29'25″ = 0,7599049946 rad
Úhel ∠ B = β = 59,34992300599° = 59°20'57″ = 1,03658394731 rad
Úhel ∠ C = γ = 77,16604115931° = 77°9'37″ = 1,34767032345 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 14,62549406457
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 11.76999525165
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 10,32334875146
Těžnice: ta = 14,86660687473
Těžnice: tb = 12,65989889012
Těžnice: tc = 10,59548100502
Poloměr vepsané kružnice: r = 3,98986201761
Poloměr opsané kružnice: R = 8,71879840992
Souřadnice vrcholů: A[17; 0] B[0; 0] C[6,11876470588; 10,32334875146]
Těžiště: T[7,70658823529; 3,44111625049]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[8,5; 1,93773297998]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 3,98986201761]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 136,5109641653° = 136°30'35″ = 0,7599049946 rad
∠ B' = β' = 120,65107699401° = 120°39'3″ = 1,03658394731 rad
∠ C' = γ' = 102,84395884069° = 102°50'23″ = 1,34767032345 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=12 b=15 c=17
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=12+15+17=44
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=244=22
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=22(22−12)(22−15)(22−17) S=7700=87,75
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 87,75=14,62 vb=b2 S=152⋅ 87,75=11,7 vc=c2 S=172⋅ 87,75=10,32
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 17152+172−122)=43°29′25" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 17122+172−152)=59°20′57" γ=180°−α−β=180°−43°29′25"−59°20′57"=77°9′37"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=2287,75=3,99
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 3,989⋅ 2212⋅ 15⋅ 17=8,72
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 172−122=14,866 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 172+2⋅ 122−152=12,659 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 152−172=10,595
Vypočítat další trojúhelník