Trojúhelník 12 16 25
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 12
b = 16
c = 25
Obsah trojúhelníku: S = 77,79441996552
Obvod trojúhelníku: o = 53
Semiperimeter (poloobvod): s = 26,5
Úhel ∠ A = α = 22,89904870518° = 22°53'26″ = 0.43995143664 rad
Úhel ∠ B = β = 31,24402652162° = 31°14'25″ = 0,54552454872 rad
Úhel ∠ C = γ = 125,8699247732° = 125°52'9″ = 2,19768327999 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 12,96656999425
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,72442749569
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 6,22435359724
Těžnice: ta = 20,11221853611
Těžnice: tb = 17,903251379
Těžnice: tc = 6,61443782777
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,93656301757
Poloměr opsané kružnice: R = 15,4255314552
Souřadnice vrcholů: A[25; 0] B[0; 0] C[10,26; 6,22435359724]
Těžiště: T[11,75333333333; 2,07545119908]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,5; -9,03882702453]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[10,5; 2,93656301757]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 157,11095129482° = 157°6'34″ = 0.43995143664 rad
∠ B' = β' = 148,76597347838° = 148°45'35″ = 0,54552454872 rad
∠ C' = γ' = 54,1310752268° = 54°7'51″ = 2,19768327999 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=12 b=16 c=25
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=12+16+25=53
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=253=26,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=26,5(26,5−12)(26,5−16)(26,5−25) S=6051,94=77,79
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 77,79=12,97 vb=b2 S=162⋅ 77,79=9,72 vc=c2 S=252⋅ 77,79=6,22
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 16⋅ 25162+252−122)=22°53′26" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 25122+252−162)=31°14′25" γ=180°−α−β=180°−22°53′26"−31°14′25"=125°52′9"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=26,577,79=2,94
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,936⋅ 26,512⋅ 16⋅ 25=15,43
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 162+2⋅ 252−122=20,112 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 122−162=17,903 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 162−252=6,614
Vypočítat další trojúhelník