Trojúhelník 12 18 20
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 12
b = 18
c = 20
Obsah trojúhelníku: S = 106,65436450385
Obvod trojúhelníku: o = 50
Semiperimeter (poloobvod): s = 25
Úhel ∠ A = α = 36,33660575146° = 36°20'10″ = 0,63441838408 rad
Úhel ∠ B = β = 62,7220387264° = 62°43'13″ = 1,09546772659 rad
Úhel ∠ C = γ = 80,94435552214° = 80°56'37″ = 1,41327315469 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 17,77656075064
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 11,85504050043
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 10,66553645039
Těžnice: ta = 18,05554700853
Těžnice: tb = 13,82202749611
Těžnice: tc = 11,57658369028
Poloměr vepsané kružnice: r = 4,26661458015
Poloměr opsané kružnice: R = 10,12662361883
Souřadnice vrcholů: A[20; 0] B[0; 0] C[5,5; 10,66553645039]
Těžiště: T[8,5; 3,55551215013]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[10; 1,59439445852]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[7; 4,26661458015]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 143,66439424854° = 143°39'50″ = 0,63441838408 rad
∠ B' = β' = 117,2879612736° = 117°16'47″ = 1,09546772659 rad
∠ C' = γ' = 99,05664447786° = 99°3'23″ = 1,41327315469 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=12 b=18 c=20
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=12+18+20=50
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=250=25
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=25(25−12)(25−18)(25−20) S=11375=106,65
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 106,65=17,78 vb=b2 S=182⋅ 106,65=11,85 vc=c2 S=202⋅ 106,65=10,67
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 18⋅ 20182+202−122)=36°20′10" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 20122+202−182)=62°43′13" γ=180°−α−β=180°−36°20′10"−62°43′13"=80°56′37"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=25106,65=4,27
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 4,266⋅ 2512⋅ 18⋅ 20=10,13
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 182+2⋅ 202−122=18,055 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 202+2⋅ 122−182=13,82 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 182−202=11,576
Vypočítat další trojúhelník