Trojúhelník 12 19 30
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 12
b = 19
c = 30
Obsah trojúhelníku: S = 56,96599640098
Obvod trojúhelníku: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5
Úhel ∠ A = α = 11,52987444337° = 11°31'43″ = 0,2011214549 rad
Úhel ∠ B = β = 18,448802355° = 18°26'53″ = 0,32219787514 rad
Úhel ∠ C = γ = 150,02332320163° = 150°1'24″ = 2,61883993532 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 9,4933327335
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 5,99657856852
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 3,7977330934
Těžnice: ta = 24,38223706805
Těžnice: tb = 20,77985947552
Těžnice: tc = 5,24440442409
Poloměr vepsané kružnice: r = 1,86875398036
Poloměr opsané kružnice: R = 30,02110863846
Souřadnice vrcholů: A[30; 0] B[0; 0] C[11,38333333333; 3,7977330934]
Těžiště: T[13,79444444444; 1,2665776978]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[15; -26,00551077235]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[11,5; 1,86875398036]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 168,47112555664° = 168°28'17″ = 0,2011214549 rad
∠ B' = β' = 161,552197645° = 161°33'7″ = 0,32219787514 rad
∠ C' = γ' = 29,97767679837° = 29°58'36″ = 2,61883993532 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=12 b=19 c=30
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=12+19+30=61
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=261=30,5
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=30,5(30,5−12)(30,5−19)(30,5−30) S=3244,44=56,96
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=122⋅ 56,96=9,49 vb=b2 S=192⋅ 56,96=6 vc=c2 S=302⋅ 56,96=3,8
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 19⋅ 30192+302−122)=11°31′43" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 12⋅ 30122+302−192)=18°26′53" γ=180°−α−β=180°−11°31′43"−18°26′53"=150°1′24"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=30,556,96=1,87
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 1,868⋅ 30,512⋅ 19⋅ 30=30,02
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 192+2⋅ 302−122=24,382 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 302+2⋅ 122−192=20,779 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 122+2⋅ 192−302=5,244
Vypočítat další trojúhelník